ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормальные семейства теорема Монтеля из "голоморфная динамика " Пусть 3 и Т — римановы поверхности. В этом параграфе будет изучаться компактность на функциональном пространстве Но1(5, Т), состоящем из всех голоморфных отображений из 5 в Г. Вначале определим топологию на этом пространстве и на более щироком пространстве Мар(5, Г), состоящем из всех непрерывных отображений из 5 в Г. Эта топология известна в комплексном анализе как топология равномерной сходимости на компактных подмножествах или, более кратко, как топология локально-равномерной сходимости. Она известна топологам как компактно-открытая топология (задача 3-а) или как С°-топология. [c.44] Подмножество С Мар(Х, У) называется открытым тогда и только тогда, когда для любого / существуют Кие, как и выще, такие, что окрестность (/) из базы окрестностей содержится в. [c.44] Эта топология на Мар(Х, У) зависит только от топологий на X и и не зависит от конкретного выбора метрики на . Более того, если X является сг-компактом, то Мар(Х, ) само является метризуемым топологическим пространством. [c.45] Для данных Кии нетрудно построить е О такое, что каждая пара (/(ж), у) при X К и (И51 / х), у) е принадлежит этому множеству и, и отсюда следует, что С С другой стороны, если и е) — множество всех пар у, у ) таких, что И51 у, у ) е, то = NJ с/(е)(/)- Следовательно, если мы возьмем в качестве базы окрестностей с/(/) то мы получим ту же топологию без использования какого-либо выбора метрики. [c.45] Теперь мы будем рассматривать отображения римановых поверхностей 3 и Т. Так как, согласно следствиям 2.2 и 2.10, каждая риманова поверхность является метризуемым сг-компактом, мы получаем корректно определенное метризуемое топологическое пространство Мар(5, Т). Из теоремы Вейерштрасса 1.4 легко следует, что пространство Но1(5, Т) голоморфных отображений является замкнутым подмножеством в Мар(5, Г). [c.46] Доказательство теоремы 3.2 основано на теореме Больцано - Вейерштрасса, в которой утверждается, что метрическое пространство компактно в том и только том случае, когда каждая бесконечная последовательность точек пространства содержит сходящуюся подпоследовательность. (Задача 3-(1.) Следовательно, достаточно показать, что любая последовательность голоморфных отображений 5 Т таких, что /п К) С К, содержит сходящуюся подпоследовательность. [c.47] В качестве приложения этого результата мы можем сравнивать метрики Пуанкаре па паре римановых поверхностей 8 С 8. (Ср. (2 6.)) Мы будем использовать обозначение Nr p) С 8 для открытой окрестности, имеющей в метрике Пуанкаре радиус г, т. е. состоящей из всех таких q 8, что (11815(р, ч) г. [c.49] Пусть N° С Ш) — диск радиуса г в метрике Пуанкаре с центром в какой-либо точке единичного диска. Если S — универсальпое пакры-тие S, то после композиции подходящего изоморфизма Ш) = 5 с проекцией S S можно построить накрывающее отображение fj-.ID S такое, что /, (0) = pj. Очевидно, что N pj) может рассматриваться как образ fj N°) этого стандартного диска. [c.50] Заметим, что для любого достаточно большого компактного множества К С S каждая компонента S K является гиперболической римановой поверхностью. Для достаточно больших j отображения fj принимают значения в S К и, следовательно, образуют нормальное семейство. Если все pj лежат в некотором компактном подмножестве S (например, если последовательность pj сходится к некоторой точке S ), то можно выбрать подпоследовательность такую, что fj локально-равномерно сходится к предельному голоморфному отображению / N° S K. (В самом деле, поскольку мы можем применить те же рассуждения для диска радиуса г +1, то эта подпоследовательность равномерно сходится в замкнутом диске N ). [c.50] Здесь мы рассматривали только некоторую подпоследовательность из Теперь мы вернемся к изучению всей последовательности. [c.51] Так как fj не сходится к бесконечности в Т, то можно выбрать компактные множества К С 3 и Ь С Т так, что fj K)f]L ф 0 для счетного набора j. Перейдем к подпоследовательности и выберем точки kj. е к так, чтобы образы сходились к пределу Ь. [c.51] Вначале предположим, что 3 и II гиперболичны. Так как диаметр К конечен относительно метрики Пуанкаре в 3, то из 3.4 и теоремы Пика следует, что образ fj (К) целиком стремится к . Снова применив 3.4, легко заключаем, что последовательность отображений 3 СТ локально-равномерно сходится к постоянному отображению К е ди С Т, что и требовалось. [c.51] Доказательство тривиально. Объединяя следствия 3.6 и 3.3 и тот факт, что сфера с тремя выколотыми точками гиперболична (см. 2.4), мы получим следующее важное утверждение. [c.52] Пусть 8 и Т — римановы поверхности и II — связное открытое подмножество в Т. Покажите, что топологическая граница Но1(5, II) в Но1(5, Т) состоит в точности из постоянных отображений из 5 в 811. [c.52] Задача З-ё. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Пусть X — метрическое пространство, в котором каждая бесконечная последовательность имеет точку накопления или, что эквивалентно, содержит сходящуюся подпоследовательность. Покажите, что для каждого О пространство X можно покрыть конечным множеством щаров радиуса . Если X является объединением открытых подмножеств покажите, что из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, иными словами, покажите, что X компактно. [c.53] Задача 3-е. Локальная нормальность. Покажите, что нормальность является локальным свойством. Более точно, пусть 5 и Т — произвольные римановы поверхности и / — семейство голоморфных отображений из 5 в Г. Используя диагональный метод, как в доказательстве теоремы 3.2, покажите, что если каждая точка в 8 имеет окрестность II такую, что семейство / является нормальным в Но1(С/, Г), то семейство / само является нормальным. [c.53] Вернуться к основной статье