ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гексагональная дискретизация спектра томограмм из "Оптическая томография " В этой связи возникает вопрос о возможности точного восстановления изображения сечения объекта при конечном числе проекций, который имеет положительный ответ для определенных классов объектов. Так, например, для осесимметричных объектов, когда уравнение Радона переходит в уравнение Абеля, достаточно одной проекции, для объектов, сечения которых описываются произведением двух функций с разделенными переменными, — двух проекций. Число проекций, необходимых для восстановления объектов с определенной группой симметрии, приведено в [8]. Подробнее анализ задачи томографии с малым числом проекций рассмотрен в [48], где указывается возможность восстановления при наличии априорной информации (например, по заданным изолиниям), а также восстановления профилей искомых физических величин для слабоменяющихся объектов. [c.53] Необходимо отметить, что дискретный характер сбора данных в томографии носит принципиальный характер. При любой реализации сканирования исследуемой области возникает дискретизация либо по углу, либо по набору луч-сумм. Указанная особенность позволяет отнести томографию к непрерывно-дискретному методу отображения информации, когда объект непрерывен, а система отображения дискретна. В нашем случае оптической томографии дискретизация при отображении осуществляется по углу, причем число отсчетов по этой координате примерно равно 10. [c.54] Для оценки возможности такого рода систем отображения информации целесообразно использовать методы аппроксимации двумерного изображения по дискретному набору данных. При этом возникает задача набора достаточного количества информации. Применительно к томографии указанная задача распадается на две выбор направлений зондирования объекта и определение числа проекций в зависимости от тех или иных его особенностей. [c.54] В настоящем параграфе рассматривается вопрос о выборе числа проекций для восстановления достаточно широкого класса изображений, представимых в частотной плоскости в виде ряда Котельникова, обобщенного на двумерный случай. Для этого предварительно вспомним связь между преобразованиями Фурье и Радона (см. 1.1). Согласно теореме о центральном слое одномерное преобразование фурье-проекции, полученной под определенным углом просвечивания, равно сечению двумерного спектра изображения вдоль линии, проходящей через начало координат в спектральной плоскости под тем же углом. После определения фурье-спектров от всех проекций в частотной области формируется дискретный набор сечений двумерного фурье-образа искомого изображения. Для анализа возможности последующего восстановления объекта по набору проекций необходимо определить достаточное число сечений двумерного спектра для определения его во всей области задания на частотной плоскости. [c.54] Восстанавливаемое изображение сечения практически всегда заключено в ограниченной области. Заметим, что в формулировке теоремы Котельникова в силу взаимности прямого и обратного преобразования Фурье за анализируемую функцию можно принять пространственный спектр томограммы Ф(и,о), для которого фурье-спектром будет изображение сечения Цх,у). В нашем случае томограмма заключена в ограниченной пространственной области. Тогда функцию Ф и,и) можно рассматривать как функцию с ограниченным по протяженности спектром и применить к ней теорему Котельникова, обобщенную на двумерный случай. Согласно этой теореме возможно точное восстановление функции Ф и,и) по значениям ее в дискретных точках отсчета в плоскости uv, которые, как указывалось выше, синтезируются по экспериментальным данным. [c.54] Рассмотрим возможность синтеза функции Ф(и,о) из фурье-образов проекций при гексагональной дискретизации Пусть искомое изображение сечения объекта заключено в правильный шестиугольник размером Х=УЗ У = Р/2, где Р — диаметр описанной окружности. Вид гексагональной дискретизации частотной плоскости в этом случае изображен на рис. 2.1, где параметры дискретизации равны и=я1Р, У= У3/2)я/Р. [c.55] Дискретизация произведена таким образом, что расстояние между соседними точками отсчета одинаково и равно я/Р. Припишем каждой точке отсчета пару целых чисел п, к, где п обозначает номер шестиугольника, на котором находится данная точка, а к определяет положение этого отсчета на одной из сторон шестиугольника, например (см. рис. 2.1) точка А имеет координаты п=3, к = 2. [c.55] Выше было показано, что при томографическом исследовании объекта частотная плоскость заполняется фурье-спектрами проекций, расположенными вдоль лучей, проходящих через начало координат. Для точного восстановления спектра сечения объекта необходимо, чтобы эти лучи перекрыли все точки отсчета данной дискретизации [51]. [c.56] Легко показать, что число лучей, т. е число проекций, будет определяться количеством пар чисел nk, не имеющих общего делителя, что возможно в следующих случаях а) одно из чисел п или k является простым числом, б) сумма п+к — простое число в) для пар чисел вида га, 1 и га, га—1. Например, для га =6 полное число проекций равно 36. [c.56] Вернуться к основной статье