ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вычислительные алгоритмы реконструктивной томографии из "Оптическая томография " НИЯ обратной задачи восстановления изображения по проекциям. При создании конкретной томографической системы в качестве одной из основных задач выдвигается разработка вычислитгльного алгоритма, реализующего тот пли иной метод реконструкции томограмм. [c.52] При решении задачи восстановления распределения физических величин по проекционным измерениям, как и при решении любой др гой обратной задачи, возникают два вопроса достаточно ли исходных данных для последующего анализа, т. е. правильно ли поставлен физический эксперимент, и существует ли аналитическая либо вычислительная процедура, позволяющая получить однозначный ответ. При решении обратных задач необходимо также учитывать влкя.ше ошибок измерения экспериментальных данных. [c.52] В начале XX в. французский математик Ж. Адамар ввел термин некорректной задачи. Решение подобных задач очень чувствительно к малым ошибкам исходных данных или вычислений, т. е. их небольшие отклонения приводят к значительным изменениям ответа. [c.52] В последние годы обратные задачи стали встречаться в практике анализа данных очень часто, поэтому возникла необходимость в разработке методов решения некорректных задач. Общим во всех известных методах решения является привлечение некоторых дополнительных данных об ответе [4,5], т. е. в тех случаях, когда при определении ответа происходит сильное увеличение ошибок, в алгоритм вводятся новые ограничения, которые делают задачу более устойчивой. [c.52] Такая дополнительная информация о решении выбирается, как правило, из априорных данных об объекте исследования. Однако в вычислительной математике были разработаны более общие процедуры решения таких задач, которые носят достаточно универсальный характер. В их основу положен метод регуляризации, разработанный А. Н. Тихоновым. [c.52] Суть метода регуляризации заключается в том, что, во-первых, формулируются дополнительные условия на решение задачи и, во-вторых, строится формальный алгоритм, который исключает возникновение неустойчивого решение. [c.52] В случае реконструктивной томографии методы регуляризации применяются для ешения задачи деконволюции свертки [4,31]. Мы не будем рассматривать конкретные виды регуляризующих алгоритмов, применяемых в рентгеновской медицинской томографии. Этому вопросу посвящена обширная литература [31,48]. [c.52] Другим алгоритмом восстановления томограмм является алгебраический. Он применяется в том случае, когда задача томографии описывается в дискретной форме. При этом изображение сечения объекта разбивается двумерной дек.- ртовоп сеткой, в каждом узле которой ищется значение функции. Проекционные данные представляют собой сумму значений искомой функции, умноженных на весовые множители, которые учитывают вклад площади каждого соответствующего элемента изображения в луч-сумму. В результате мы получаем систему линейных уравнений, при этом число уравнений соответствует количеству луч-сумм, а число неизвестных — количеству элементов разбиения в томограмме. В [И] подробно проанализированы алгоритмы данного типа и даны конкретные рекомендации по их применению. [c.52] Дискретизация области реконструкции изображения возможна не только на декартовой сетке. Применяются различные методы представления. На этом базируются методы восстановления томограмм, основанные на разложении в конечные ряды [23]. Наиболее широко распространены алгоритмы реконструк-цшт с использованием интегральных преобразований. Они основаны на нахождении формулы обращения, т. е. определении томограммы из проекционных данных и затем реализации ее вычисления на ЭВМ. При этом учитываются особенности схемы сбора данных, зашумленность изображения и т. д. Фактически в большинстве случаев задача сводится к построению вычислительной процедуры, реализующей методы восстановления, описанные в 1.2 (фурье-синтез, суммирование фильтрованных обратных проекций, фильтрация суммарного изображения). К этому же классу следует отнести алгоритмы, непосредственно использующие инверсное преобразование Радона. [c.52] Метод штегральных преобразований дает базу для множества разнообразных алгоритмов, часть из которых используется в комерческих медицинских томографах. Применение той или иной формулы обращения и соответствующего ей вычислительного алгоритма определяется, как правило, спецификой конкретной задачи. Наиболее подробно эти алгоритмы рассмотрены, на наш взгляд, в [39]. [c.53] В заключение заметим только, что в задачах оптической томографии при огромном многообразии исследуемых объектов и схем сбора данных поиск каких-либо универсальных алгоритмов является слишком сложной задачей. На наш взгляд, поиск в этой области должен быть направлен в сторону разработки таких алгоритмов, которые позволяют, во-первых, привлекать самую разнообразную априорную информацию (иногда плохо формализованную) и, во-вторых, учитывать такие особенности системы регистрации проекционных данных, как малоракурсность, ограниченный угол обзора и т. д. [c.53] 3 мы подробно рассмотрим алгоритм циклического вычисления свб(рт-ки, который удовлетворяет указанным условиям. [c.53] Вернуться к основной статье