ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теоретические основы предлагаемого вариационного метода расчета корпусных деталей машин из "Вариационные методы расчета корпусных деталей машин " Корпусные детали представляют собой в основном пустотелые конструкции из однородного материала. Поэтому решение поставленной задачи может быть выполнено средствами статической и динамической теории упругости изотропного тела. Решить точно известные системы дифференциальных уравнений теории упругости в частных производных для таких пространственных тел, какими являются корпусные детали, в настоящее время не представляется возможным. Точное решение задачи теории упругости пока получено при некоторых частных видах нагружения только для полупространства, бесконечного слоя, шара, цилиндра и др. [40]. [c.13] Для разработки инженерных методов расчета корпусных деталей необходимо применить приближенные методы теории упругости, среди которых наиболее плодотворными являются вариационные методы. Все вариационные методы основаны на приближенном решении вариационных уравнений Лагранжа и Кастилиано для случая упругого равновесия и движения. [c.13] В примелении к расчету корпусных деталей машин при статическом нагружении на жесткость предпочтительней вариационное уравнение Лагранжа, так как основанные на нем приближенные решения получаются сразу в перемещениях. При использовании вариационного уравнения Кастилиано для случая статической нагрузки решение получается в напряжениях (усилиях) и поэтому широко применяется в расчетах на прочность. Ввиду того что напряжения и перемещения связаны между собой, например в форме обобщенного закона Гука, то в расчетах на прочность применимы уравнения Лагранжа и Кастилиано. Однако, учитывай важность расчета на жесткость корпусных деталей, отметим, что точность перемещений, полученных при помощи уравнения Кастилиано, будет меньшей, чем при помощи уравнения Лагранжа. Что касается расчетов при динамической нагрузке, то решение проще всего полу 1ать в перемещениях. [c.14] Принимая во внимание вышесказанное, будем применять для расчета корпусных деталей машйн на прочность, жесткость, устойчивость, виброустОйчивость и термопрочность метод перемещений, основанный на решении вариационного уравнения Лагранжа. [c.14] Полученное уравнение (8) равносильно системе трех дифференциальных уравнений в частных производных по четырем переменным. [c.17] Приближенность упомянутых уравнений состоит в том, что равновесие внутри объема выполнено по координате д только в среднем. Число уравнений и неизвестных функций возросло, зато последние зависят от трех переменных вместо четырех, как в случае 1. [c.19] Таким образом, в зависимости от выбора элемента равновесия можно привести четырехмерную задачу теории упругости к трехмерной, двумерной или одномерной задаче. [c.22] Если выбрать аппроксимирующие функции, зависящие от всех четырех переменных ди дг, дз, Лав качестве неизвестных принять постоянные коэффициенты, то для их нахождения получим систему алгебраических уравнений. Приведение задачи теории упругости к системе алгебраических уравнений носит название собственно вариационного метода, приведение к системе дифференциальных уравнений называют смешанным вариационным методом [38]. [c.23] Анализируя описанные методы решения вариационного уравнения Лагранжа, приходим к заключению, что для расчета корпусных деталей машин следует применить методы приведения четырехмерной задачи теории упругости к двумерной и одномерной. Получаемые при том системы уравнений не встречают больших математических трудностей. Выбор аппроксимирующих функций будем производить в основном по способу Ритца, так Как заранее удовлетворить статическим или динамическим условиям на поверхности таких сложных пространственных конструкций, какими являются корпусные детали машин, не представляется возможным. [c.23] Матрица коэффициентов (24), как и следовало ожидать, оказалась симметричной, что соответствует теореме о взаимности работ для упругого равновесия. [c.32] Динамическая задача теории упругости на основании системы (26) привелась к динамике материальной системы со многими степенями свободы. [c.33] Полученные автором системы дифференциальных уравнений (23) являются более общими по сравнению с другими уравнениями, например приведенными в работе [43], и позволяют, как увидим в дальнейшем, произвести расчет на статическую и динамическую нагрузку весьма сложных пространственных конструкций типа корпусных деталей машин без особых математических трудностей. [c.35] Коэффициенты (30) вычисляются по формулам (24). [c.37] Рассмотрим применение уравнений (30) к расчету массивных конструкций, а затем, вводя дополнительные упрощения, изучим расчет тонкостенных систем. [c.37] Граничные условия (25) для уравнений (30) записываются в виде х = 1,, х = 1 . [c.39] Если в полученных формулах для коэффициентов положить все производные по координате х равными нулю, то получим известную систему дифференциальных уравнений для расчета массивных конструкций при условии выбора аппроксимирующих функций, зависящих только от двух переменных у н г [32, 43]. Таким образом, выведенные нами в данной работе уравнения (23) являются более общими по сравнению с существующими не только благодаря криволинейным ортогональным координатам, но и возможности выбора вариаций ф , fd, зависящих от трех координат. Последнее обстоятельство имеет важное значение для нахождения уточненных решений при расчете тел переменного сечения. [c.39] Коэффициенты уравнений (36) в прямоугольной системе координат вычисляются по формулам (31) и относятся к сечению I. Рассмотрим пример приближенного расчета на прочность массива типа основания, у которого высота примерно равна или несколько больше размеров наибольшего поперечного сечения, представляющего собой прямоугольник и изменяющегося по высоте по степенному закону (рис. 5). [c.41] Остальные перемещения в направлении осей у и г при условии осевого нагружения, очевидно, будут весьма незначительны и поэтому ими можно пренебречь. [c.43] Уравнение (44) приводится к уравнению Ломмеля хЬ/ --Н аху + Ьх у = / (х). [c.44] Вернуться к основной статье