ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИИ Бифуркация и устойчивость процесса деформирования из "математическая теория пластичности " Выдавливание материала через узкую щель в прямоугольном контейнере (рис. 64) можно рассматривать как установившееся течение полосы с изменением (редукцией) толщины от 2Н до 2к. Очевидно, что к горизонтальной оси симметрии линии скольжения должны подходить под углом я/4 так же, как и к гладким стенкам контейнера. Прилегающий к внутренним углам контейнера материал остается жестким (застойная зона). Этим условиям при редукции Н/к—2 удовлетворяет сетка линий скольжения, представленная на рис. 64 и состоящая из двух центрированных вееров с углами раствора я/2. В силу симметрии будем в дальнейшем рассматривать только нижнюю часть сетки. [c.181] Здесь V я V скорости перемещения жесткой массы до и после редукции. Очевидно, что в силу несжимаемости при принятой редукции и = 2У. Легко проверить, что эти жесткие условия в рамках решения (2.9) удовлетво-римы и поэтому принятое решение является кинематически допустимым. [c.182] При волочении полосы через гладкую равномерно суживающуюся матрицу (рис. 65) так же, как и в предыдущем случае, линии скольжения должны подходить к оси симметрии и стенкам матрицы под углами я/4. Сетка линий скольжения, представленная на рис. 65, удовлетворяет этим условиям, если при заданном угле схождения у редукция Я//г не меньше некоторого значения. [c.182] Естественно, что значение не должно превышать допустимого для полосы толщиной 2А, т. е. [c.183] Кинематическая допустимость решения так же легко проверяется, как и в предыдущем случае. [c.183] Положение о единственности решения краевой задачи в приращениях, доказанное в главе П, имеет силу только в геометри-чески-линейной постановке, т. е. в предположении, что изменением геометрии элементов тела и его границ при написании условий равновесия можно пренебречь. В отсутствии этого предположения вывод о единственности несправедлив. [c.184] Правда, неединственность для приращений деформаций (а следовательно, и для приращений напряжений и перемещений) проявляется только при переходе через некоторые особые состояния внешнего нагружения, характеризуемые значениями внешних параметров Г , Ц . Тем не менее если история внешнего нагружения включает такие состояния, то возникает вопрос о дальнейшем поведении тела, а вместе с ним и о механическом смысле указанных состояний. [c.184] Какое продолжение процесса изберет упруго-пластическое тело за точкой бифуркации, нужно проверять. Однако несомненно, что если избирается определенное, то другие продолжения неустойчивы. Это и определяет важность проблемы бифуркации, в особенности, если устойчивое продолжение связано с новыми видами деформаций и перемещений, которые отсутствовали до этого (например, наложение сдвига на простое сжатие, или появление поворота элементов, отсутствующего ранее). [c.184] В общем случае проблема бифуркации процесса деформирования ставится на основе следующей системы уравнений [Клюшников, 1972]. [c.185] Эта задача сильно упрощается для равноактивной бифуркации, т. е. для случая побочного продолжения, активность которого (догрузка или разгрузка) в каждой точке тела такая же, как и активность основного продолжения. Здесь уже Щр = так, что соотношение (1.4) становится однородным. [c.186] Собственно, проблема становится проще именно из-за совпадения (Овр и последнее из которых, в свою очередь, должно совпадать с ибо гладкое продолжение внутреннего процесса, каковым является основное продолжение, связано с непрерывным, за редким исключением, изменением области пластичности. [c.186] В связи со всем вышеуказанным представляется оправданным следующее предположение (критерий равноактивной бифуркации). Точка равноактивной бифуркации определяет первый момент в истории внешнего нагружения, когда основной процесс упруго-пластического деформирования становится неустойчивым в том смысле, что исчезающе малые возмущения этого процесса, рассматриваемого как медленное движение, приводят к конечным отклонениям в любой последующий конечный момент времени. [c.187] Естественно, что при практическом использовании данного критерия должна каждый раз проверяться допустимость равноактивной деформации, т. е. ее совместимость с внешними связями. [c.187] Строгая математическая проверка критерия равноактивной бифуркации в связи с предельной сложностью анализа в общем случае отсутствует. Но там, где имеется возможность относительно просто исследовать возмущенные движения, этот критерий подтверждается. Для идеально-упругих тел данный критерий дает тот же результат, что и критерий Эйлера, который был высказан еще в середине восемнадцатого века и утверждал, что равновесие упругой системы становится неустойчивым в момент, когда впервые обнаруживается неединственность решения для самих механических параметров (бифуркация состояния), а не их приращений (бифуркация процесса), как это рассматривалось выше. [c.187] Первые исследования по устойчивости упруго-пластических систем (Т. Карман, 1906) были основаны как раз на критерии Эйлера. В соответствии с таким подходом центрально сжатый упруго-пластический стержень, например, должен оставаться прямым вплоть до достижения так называемой приведенно-модульной нагрузки Кармана, а по достижении этой нагрузки изгибается с появлением зоны разгрузки, отсутствовавшей в исходном состоянии. Но на рубеже пятидесятых годов (Ф. Шенли, 1947 Ю. Н. Работнов, 1952) было обнаружено, что упруго-пластический стержень может изгибаться еще до достижения приведенно-модульной нагрузки, причем такое изгибание требует постоянного подрастания сжимающей нагрузки (продолжающееся нагружение) и сопровождается плавным нарастанием зон разгрузки от нулевого их объема в начальный момент изгибания. [c.187] В отличие от этого сформулированный выше критерий равноактивной бифуркации таких формальных моментов не содержит и не связан с анализом состояния равновесия, и если критерий Эйлера есть порождение проблемы устойчивости состояния, то данный критерий естественным образом проистекает из проблемы устойчивости движения (процесса). Тем не менее в сравнимых случаях выводы концепции продолжающего нагружения и критерия равноактивной бифуркации совпадают. [c.188] Вернуться к основной статье