ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА из "Классическая механика " Следует заметить, что траектория, получающаяся в пространстве конфигураций в результате варьирования истинной траектории, может быть одинаковой как при б-вариации, так и при Д-вариации. Однако скорость движения изображающей точки вдоль полученной траектории будет при этом неодинаковой, так как в первом случае вариация ее скорости должна быть такой, чтобы не менялось полное время движения, а во втором —чтобы не менялось Н. [c.254] Согласно равенству (7.39) траектория системы в пространстве конфигураций такова, что, двигаясь по этой траектории с заданной энергией, система проходит путь между двумя ее точками в кратчайшее время (точнее, время этого движения является экстремальным). В данном случае принцип наименьшего действия напоминает известный принцип Ферма в геометрической оптике. Согласно этому принципу световой луч всегда выбирает тот путь, при котором время движения от данной точки А к данной точке В является наименьшим. Нам еще представится случай вернуться к этим соображениям в главе 9, где будет рассматриваться связь между методом Гамильтона и геометрической оптикой. [c.257] Полученное равенство имеет такую же форму, как равенство (7.40), относящееся к одной материальной точке. Принцип, выражаемый уравнением (7.44), часто называют принципом наименьшего действия в форме Якоби. [c.258] Введенный нами дифференциал dp имеет формальный характер, однако он приводит к весьма изящной интерпретации, которую мы сейчас рассмотрим. [c.258] Если же криволинейные координаты не являются ортогональными, то матрица коэффициентов triih не будет диагональной. [c.259] Таким образом, дифференциал dp можно интерпретировать как длину элемента траектории в пространстве конфигураций с координатами q. .В общем случае они не являются декартовыми, а представляют координаты пространства, метрика которого определяется коэффициентами т,л из равенства (7.41). Тогда Y2Т будет равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют силы, и поэтому Г постоянно, то будет постоянной и скорость движения этой точки, из чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой наименьшей длины, т. е. вдоль одной из геодезических линий пространства конфигураций. [c.259] Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение которой определяется координатами qi, то уравнения (7.46) будут определять ее траекторию в собственном смысле этого слова (а не траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций). Координаты qi могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть ограничено связями, заставляющими ее двигаться не в трех измерениях, а.в двух, т. е. по некоторой поверхности. Тогда ее положение на этой поверхности будет определяться координатами qi и 2, а dp будет, очевидно, пропорционально элементу длины ее траектории. Уравнения (7.46) будут тогда определять траекторию этой точки на поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на точку не действуют никакие активные силы, ее траекторией будет одна из геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например, сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является геодезической линией сферы. [c.260] Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей кривизны. [c.260] В 33 и 34 этого учебника имеются примеры получения новых термодинамических функций с помощью преобразования Лежандра. [c.261] В главе IV этой книги содержится пространное и часто недостаточно последовательное изложение вариационных принципов и их выводов, которое сопровождается подробно разобранными примерами. Книга дает ясное представление об основных направлениях классической механики в начале этого столетия. [c.262] Эта статья содержит достаточно полное изложение различных интегральных и дифференциальных принципов, могущих быть положенными в основу классической механики. [c.262] Две первые части следующей статьи этого тома, написанной Нордхеймом и Фюзом, представляют легко читаемое введение в, теорию. уравнений Гамильтона. [c.262] Принцип Гэмильтона и принцип наименьшего действия формулируется так, что может создаться впечатление, будто механические системы знают ту конечную конфигурацию, к которой они движутся. Хотя это, разумеется, неверно, так как движение системы определяется только начальными условиями, однако в прошлом на этом основывались различные философские толкования указанных принципов. Этот и аналогичные вопросы рассматриваются в главе 3 цитируемой книги, где указывается литература по данной теме. [c.262] Вернуться к основной статье