ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ПЛ 11. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ Постановка задач из "математическая теория пластичности " Поверхность нагружения (деформирования) играет, как было видно, решающую роль в установлении связи напряжение — деформация . Однако ничего более, чем ее невогнутость общая теория дать не может. Лишь в частном случае идеальной пластичности возможна некоторая конкретизация формы поверхности нагружения (условия текучести), если материал является нормально изотропным, т. е. обладает одинаковыми свойствами независимо от выбора направления и от знаков напряжений и деформаций. [c.43] Поскольку в этом случае функция нагружения зависит только от инвариантов напряжений, в качестве которых можно взять три главных напряжения, то условие текучести в трехмерном пространстве главных осей Оь ог, аз в силу независимости от гидростатического давления является цилиндром с осью, равнонаклонен-ной к главным осям. Поэтому полное представление об условии текучести дает кривая (кривая текучести), образуемая его пересечением с девиаторной плоскостью 01+02+03=6 пространства главных напряжений. Эта плоскость с различными кривыми текучести и проекциями главных осей изображена на рис. 14, а. [c.43] Эксперименты по определению положения точек предельной поверхности ставятся, как правило, на тонкостенных трубчатых образцах, в которых внешними воздействиями можно создавать приближенно однородное плоское напряженное состояние любого вида, а на современных испытательных машинах — задавать соответствующую траекторию нагружения или деформирования (программу процесса). [c.44] Таким образом, получаемое в эксперименте множество точек принадлежит не искомой предельной поверхности f, а поверхности /д равного уровня пластических деформаций, накопленных после продолжения процесса нагружения (деформирования) за предельную поверхность. Поэтому поверхность f предстоит еще восстановить, а это возможно, только если закон деформирования уже установлен или постулирован. Очевидно, что разные определяющие соотношения будут приводить при одних и тех же поверхностях [д к различным предельным поверхностям f, так что судить о действительной форме предельной поверхности по экспериментально определенной поверхности уровня можно только весьма приближенно и то лишь для удаленных от точки нагружения ее частей. Вблизи же последней форма действительной предельной поверхности может резко отличаться от формы поверхности уровня, в чем убеждает рассматриваемый ниже пример. [c.45] Обычная методика определения поверхностей равного допуска состоит в проведении лучевых программ нагружения в одинаково предварительно деформированных образцах. Применим эту методику для теоретического определения такой поверхности (кривой) в условиях выполнимости сингулярной теории пластичности, изложенной в 5. [c.45] Пусть предварительная деформация получена лучевым (пропорциональным) нагружением досостояния S (точка Л на рис. 15). Поверхность (кривая) нагружения вблизи этой точки представляется симметричным углом нагружения ВАВ. Если при повторном нагружении луч пересекает сторону этого угла недалеко от его вершины А, то при построении нового текущего угла нагружения D A можно приближенно считать, что его сторона D остается параллельной стороне В А начального угла нагружения, так же как приближенно параллельными являются направления вектора догрузки 6S и начального луча нагружения. [c.45] Использованная схема построения текущего угла нагружения перестает действовать при у 2а. В последнем случае угол нагружеиия при малых 6S строится параллельным переносом исходного, при этом вычисления сильно упрощаются и, как нетрудно установить, [бЭр и 6S пропорциональны и их отношение не зависит от I. [c.47] Здесь учтено, что сразу за зоной параллельного переноса при приближение (8.7) может быть не достаточно и оно должно быть уточнено на основе уравнений (8.5). Последнее на отрезке IO+S просто обеспечивает плавный переходной режим. [c.47] На рис. 15, б, представлен принципиальный вид кривой равного уровня вблизи точки Л и ее расположение относительно угла нагружения, причем несущественная для последующих выводов зона переходного режима отброшена. Естественно, что с уменьшением допуска кривая равного уровня приближается к кривой (углу) нагружения, но при этом, как видно из формулы (8.9), уменьшается и зона Е А Еи так что при недостаточно плотном пучке повторных нагружений в эксперименте эта зона может быть не замечена вовсе, а проведенная по экспериментальным точкам кривая (на участке E E она показана пунктиром) может оказаться даже вогнутой. [c.47] Таким образом при постановке эксперимента совместно с выбором допуска должна быть определена минимально допустимая плотность экспериментальных точек, так что не только обработка результатов, но и сам план эксперимента должны опираться на теорию. [c.47] Всюду в дальнейшем предполагается, что если среди кинематических параметров задачи присутствуют деформации, то они являются малыми в той мере, как это принято в классической теории упругости. Если же в математической постановке задачи фигурируют только скорости деформаций, то сами деформации могут быть какими угодно при этом координатной системе, в которой формулируется задача, надо приписывать не лагранжев, как в первом случае, а эйлеров смысл. [c.48] Для некоторых пластических тел оказываются возможными и реализируемыми разрывные решення. Общая теория таких решений, излагаемая ниже, берет начало с работ С. А. Кристиановича (1936) и получила существенное развитие в работах В. Прагер а [Прагер и Ходж, 1956]. [c.48] Теоремы единственности решения краевых задач и вариационные принципы получили современную трактовку в работах Р. Хилла [1956] и В. Койтера [1961], однако наиболее важные результаты были получены здесь А. А. Марковым [1947] и А. А. Гвоздевым [1949]. [c.48] Фундаментальной статической задачей пластичности является задача об определении процесса нагружения (деформирования) элементов тела по заданному процессу внешнего нагружения. В зависимости от вида определяющего соотношения эта задача решается по-разному. [c.48] В рамках теории приращения деформаций используется вспомогательная задача об определении приращений напряжений бац и деформаций по заданным приращениям поверхностных 6Ti и массовых сил бРг и изменениям перемещений б г точек границы тела. [c.48] Пусть в данный момент внешнего нагружения, определяемого внешними параметрами Ти р1 и 11 известно поле напряжений и деформаций ец. [c.49] Перед догрузкой различные элементы тела находятся лиоо в пластическом, либо в упругом состоянии в зависимости от того, принадлежит ли их напряженное состояние поверхности нагружения или находится внутри нее. В соответствии с этим весь объем тела (О разделяется на области пластичности лр и упругости сое, и границы этих областей 8ер считаются известными. Поскольку для упруго-пластического тела малое изменение внешних параметров должно приводить к малому изменению внутренних, то очевидно, что в предельном случае бесконечно малой внешней догрузки в упругой области приращение деформаций будет только упругим, а в конечной части пластической области сор может произойти разгрузка, так что область использования соотношения для ЬеР лежит внутри или совпадает с ней. [c.50] Легко понять, какие трудности возникают при решении фундаментальной задачи на основе теории приращения деформаций. Использование деформационной теории значительно упрощает дело, ибо дает возможность поставить следующую задачу. [c.50] Для упруго-идеальнопластического тела решение фундаментальной статической задачи существует не всегда. Принципиально в пространстве внешних усилий, прилагаемых к телу, так же как и в пространстве напряжений, действующих на каждый его элемент, имеется предельная поверхность, переход через которую невозможен. Эта поверхность предельных состояний определяется и свойствами, и формой тела, и, может быть, историей внешнего нагружения. Возможно, что она не достижима комбинацией конечных нагрузок, но если какая-то ее часть лежит в конечной области рассматриваемого пространства, то становится возможной решение качественно новой задачи — определение предельного состояния упруго-идеальнопластического тела. [c.51] Вернуться к основной статье