ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тяжелый симметричный волчок с одной неподвижной точкой из "Классическая механика " Ось симметрии является, конечно, одной из главных осей волчка мы ее примем за ось z системы, связанной с движущимся телом. Так как одна точка волчка является неподвижной, то его положение вполне определяется тремя углами Эйлера угол 0 определяет отклонение оси z от вертикали, угол ф определяет азимут волчка, а угол гр характеризует поворот волчка вокруг его собственной оси (рис. 56). Расстояние от центра тяжести волчка, расположенного на его оси симметрии, до неподвижной точки мы обозначим через I. [c.186] Заметим, что углы ф и не входят явным образом в лагранжиан. Следовательно, они являются циклическими координатами, указывающими на неизменность соответствующих обобщенных импульсов. Но мы знаем, что обобщенный импульс, соответствующий какому-либо углу поворота, представляет собой составляющую полного кинетического момента относительно соответствующей оси вращения, какой для угла ф является вертикальная ось, а для угла 1з —ось 2, связанная с телом. Поэтому составляющие кинетического момента относительно этих осей должны оставаться постоянными. В сущности то, что эти составляющие кинетического момента должны быть постоянными, можно показать, исходя из элементарных принципов. Действительно, момент силы тяжести симметричного волчка направлен вдоль линии узлов. Следовательно, кинетические моменты волчка относительно вертикали и относительно его собственной оси должны быть равны нулю, так как согласно определению этих осей они перпендикулярны к линии узлов. [c.187] Но так как величина положительна и, кроме того, — т. е. [c.189] например, начальные условия таковы, что и больше, чем 2- Тогда согласно (5.50) производная ф будет при всех 0, лежащих между крайними значениями 0i и 02, иметь один и тот же знак. Следовательно, траектория апекса будет в этом случае касаться граничных окружностей таким образом, что ф будет одинаково направлено как при 0i, так и при 02 (рис. 58,а). [c.190] Угол ф изменяется в этом случае монотонно, и поэтому можно сказать, что ось волчка прецессирует около вертикальной оси. Однако это движение не является регулярной прецессией, встречавшейся нам в случае свободного движения твердого тела, так как в данном случае ось волчка не только вращается вокруг вертикали, но и колеблется вверх и вниз между граничными углами 0i и 02. Таким образом, рассматриваемый волчок нутирует во время прецессии. [c.190] Если же и будет лежать между щ и иг, то направления прецессии на граничных окружностях будут различными, и траектория апекса будет иметь петлеобразный вид, как показано на рис. 58, Ь. Среднее значение ф, однако, не будет при этом равно нулю и, следовательно, будет иметься прецессия в том или ином направлении. [c.190] Эффекты, вызванные моментом силы тяжести, т. е. прецессия и нутация, будут тогда играть роль малых возмущений, накладываемых па вращение волчка вокруг своей оси. В этом случае (в случае быстрого волчка ) можно вычислить величину и период нутации, а также среднюю угловую скорость прецессии. [c.191] Таким образом, амплитуда нутации, которую можно считать пропорциональной xi == Uq — щ, будет тем меньше, чем меньше 1(й, т. е. чем быстрее вращается волчок. [c.192] Отсюда видно, что скорость прецессии- будет тем меньше, чем больше начальная скорость вращения волчка. [c.193] График функции f (и) в случае волчка, ось которого в начальный момент времени вертикальна. [c.196] Практически, если вертикально стоящий волчок начинает вращаться со скоростью, большей, чем со, то некоторое время он действительно будет продолжать вращение вокруг вертикали (отсюда название спящий волчок ). Однако трение будет постепенно уменьшать скорость его вращения, и когда она станет ниже критической, волчок начнет раскачиваться, притом тем сильнее, чем больше будет падать скорость его вращения. [c.197] Хотя объем данной книги не позволяет подробно остановиться на многочисленных технических приложениях гироскопов, мы все же кратко коснемся этого вопроса. Под гироскопом обычно понимают симметричный волчок, установленный в кардано-вом подвесе таким образом, что центр тяжести его остается неподвижным, а ось может занимать любое положение в пространстве. В этом случае на волчок не действуют гравитационные моменты относительно его центра тяжести, и поэтому вектор его кинетического момента остается постоянным. Если гироскопу будет сообщена угловая скорость вокруг собственной оси и эта ось будет вначале неподвижной (и поэтому будет совпадать по направлению с вектором кинетического момента), то в дальнейшем она будет все время сохранять свое направление в пространстве. Поэтому такой гироскоп можно использовать в качестве указателя неизменного направления, так как движение экипажа, несущего гироскоп, не будет влиять на направление его оси. [c.198] Значительно более сложно действие так называемого гирокомпаса. В этом приборе ось волчка ограничена в своем движении и может поворачиваться только в горизонтальной плоскости. Но так как вследствие вращения Земли эта плоскость все время меняет свою ориентацию в неподвижном пространстве, то под действием реакций связей гироскоп вынужден прецессировать с периодом одни сутки вокруг земной оси. Ось такого гироскопа стремится сохранить свое направление в пространстве, но так как установка гирокомпаса препятствует ему прецессировать относительно горизонтальной плоскости, то появляются реакции подшипников, действующие на этот гироскоп. Можно показать, что эти силы стремятся установить ось гироскопа параллельно оси прецесии, в данном случае параллельно оси вращения Земли. Поэтому такое устройство может служить для указания направления меридиана, т. е. может быть использовано в качестве гирокомпаса . [c.198] Вернуться к основной статье