ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования из "Классическая механика " Так как, кроме того, они вещественны, то матрица этого тензора совпадает со своей эрмитовски сопряженной [см. уравнение (4.38)], т. е. является матрицей Эрмита. Таким образом, хотя этот тензор имеет девять составляющих, однако среди них будет только щесть независимых три вдоль диагонали и три по одну сторону от нее. [c.172] Можно показать, что такие оси всегда существуют доказательство этого основывается на том, что тензор инерции является эрмитовым. [c.173] Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173] 6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ее собственных значений. Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой системы, в которой матрица тензора I ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогональная матрица имеет только одно вещественное собственное значение и, значит, для собственных векторов ее имеется только одно вещественное направление (направление оси вращения). В противоположность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора / являются вещественными, а три вещественных направления ее собственных векторов взаимно ортогональны ). [c.173] В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175] Уравнение (5.26) является вековым уравнением, кубическим относительно I, и три его корня представляют искомые моменты инерции. Для каждого из этих корней можно найти решения уравнений (5.22) и получить таким путем направление соответствующей главной оси. [c.176] Во многих простых случаях о главных осях твердого тела можно судить непосредственно по его виду. Часто, например, встречаются случаи, когда рассматриваемое тело представляет-собой тело вращения, а начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии. Тогда все направления, перпендикулярные к оси симметрии, будут, очевидно, равнозначными, что указывает на наличие двойного корня векового уравнения. Главными осями будут в этом случае ось симметрии и две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии. [c.176] Следовательно, радиус-вектор каждой точки эллипсоида инерции обратно пропорционален радиусу инерции относительно оси, на которой лежит этот вектор. [c.177] Вернуться к основной статье