ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Возмущенные задачи оптимального управления. Методика исследования из "Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем " Для вектор-функции, определенной в области хеО, 0 ц Цо, введенные понятия определяются аналогично. [c.15] Для нахождения коэффициентов Xj t), /с = 0,1,можно предложить следующую процедуру, которую часто называют формализмом Пуанкаре. [c.16] Отметим, что старший коэффициент Хо(/) есть решение невозмущенной задачи, а дифференциальные уравнения для остальных коэффициентов являются линейными. [c.17] Все утверждения, сформулированные в данном параграфе, очевидно, будут справедливы и в том случае, когда решение возмущенной задачи рассматривается на произвольном временном промежутке Г, содержащем точку /о, если только на этом промежутке определено решение невозмущенной задачи. [c.17] Поставим вопрос о построении асимптотических приближений для решения этой задачи. Результаты предыдущего параграфа в данном случае не применимы если задачу (5.1), (5.2) записать в виде (4.1), то при ц = О правая часть динамической системы будет иметь разрыв. Системы вида (5.1) называют сингулярно возмущенными. Вектор z принято называть вектором быстрых переменных (быстрой переменной), т. к. производные его компонент велики по модулю при малом ц. В противовес у называют вектором медленных переменных (медленной переменной). Заметим, что наличие в системе переменных с существенно различными скоростями изменения значительно усложняет ее численное интегрирование (в теории численных методов такие системы называют жесткими) [87]. В связи с этим, вопрос о построении асимптотических приближений для решений сингулярно возмущенных систем является весьма актуальным. [c.17] В таком случае говорят, что z принадлежит области притяжения (влияния) точки покоя ф( , Iq). [c.19] Теорема Тихонова. Если выполнены условия а) д), то при достаточно малых Д задача (5.1), (5,2) имеет единственное решение y t, Ji), z(t, ), определенное на отрезке [/q, i, ]. При ц О y t, Л) ЯО равномерно на [/q, ], z(/, ц) z(0 = Ф(у(0, 0) при у, . [c.19] Аналогичные разложения имеют место для f и Ilg. [c.21] Таким образом, старшие члены разложения полностью определены. [c.23] Для нахождения 012(5), 5 0, нужно теперь решить второе уравнение (5.20) при к = 1 с начальным условием (5.30), учитывая, что 017(5) уже найдено (см. (5.28)). Тем самым будут определены члены разложений (5Л1), (5.12) с номером 1. [c.24] Заметим также, что, поскольку По (5) = 0, 5 0, то Уо(0 = КО является равномерным асимптотическим приближением для y t, ц) на отрезке [tQ, Г,] с точностью порядка ц. [c.25] Физический смысл переменных таков - переменная масса ракеты, Хз ее вертикальная координата (высота), Х3 вертикальная скорость. Переменная и, имеющая характер управляющего воздействия, определяет режим расхода горючего. Ее значения должны удовлетворять ограничению 0 u i) dy где постоянная d определяется конструктивными особенностями двигателя ракеты. Постоянная V характеризует величину реактивной тяги, а р. С, у связаны соответственно с силой тяги, аэродинамическим сопротивлением и убыванием плотности воздуха с высотой. [c.26] Подлежащая максимизации величина есть Хз(Г). [c.27] Рассмотренная задача принадлежит классу задач терминального управления с функциональными ограничениями типа равенства на правый конец траекторий (с подвижным правым концом траекторий). Об-Н1ая постановка задач этого класса такова. [c.27] Пусть фДх), / = 1,/п, заданные на X скалярные функции. Доступное управление u(t), ( назовем допустимым, если существует единственное решение х(Г), г [/д, /(], задачи Коши (6.2), соответствующее этому управлению, и ф, (х(/1)) = О, / = 1, /и. Вектор-функцию х(/), / е [/о,, называют траекторией. [c.27] Постоянные Xq, X,, Х называют множителями Лагранжа, скалярную функцию Я(х, [/, w,/) - функцией Гамильтона-Понтрягина или гамильтонианом, а начальные условия для сопряженной переменной / (/), е [Го, / J- условием трансверсальности. [c.29] При этом, естественно, предполагается, что функция /о(х, м, Г), как и другие функции, формирующие задачу, непрерывна по совокупности аргументов, вместе со своими частными производными по компонентам вектора х. [c.29] Вернуться к основной статье