ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ТЕОРИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ Определения. Эллипсоид инерции из "Лекции по теоретической механике Том 2 " Если совершенно свободное твердое тело вращается вокруг оса центрального эллипсоида инерции, оно будет продолжать вращаться вокруг этой оса бесконечно долго без действия какой-либо внешней силы. [c.74] По этой причине такая ось получила название естественная или свободная (спонтанная) ось вращения. [c.74] Замечание. — Предыдущие заключения, относящиеся к существованию постоянных осей вращения, можно также весьма просто получить, выполняя приведение центробежных сил вращающегося твердого тела (п° 338). Для того чтобы какая-либо прямая в твердом теле была постоянной осью вращения, нужно, чтобы тело было в равновесии относительно системы осей, участвующих в его вращательном движении, предполагаемом равномерным. В этом случае фиктивные силы, которые нужно дополнительно ввести, приводятся к силам инерции переносного движения различных точек твердого тела, представляющим собой не что иное, как центробежные силы. Чтобы ось OR была постоянной осью вращения для твердого тела, закрепленного в точке О, центробежные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через О, т. е. ось OR должна быть главной осью инерции для точки О (п° 328). Для того чтобы эта ось была, кроме того, свободной осью вращения, центробежные силы должны находиться в равновесии, т. е. ось OR должна быть осью центрального эллипсоида инерции. [c.74] Проведем через центр тяжести Г тела (фиг. 44) Вертикальную плоскость, перпендикулярную к неподвижной оси и пересекающую эту ось в точке О. Примем точку О за начало координат. Проведем ось Ог вертикально в сторону действия тяжести и примем только что нами определенную вертикальную плоскость за плоскость гх. [c.75] Прямая ОГ будет двигаться в этой плоскости, и движение этой прямой позволит определить движение всего тела. [c.75] Обозначим через а расстояние ОГ, через в — угол ОГ с вертикалью Ог. Будем предполагать, что угловая скорость твердого тела в начальный момент равна нулю, т. е. что оно предоставлено действию тяжести без начального толчка. [c.75] Уравнение движения может быть выведено, как в предыдущем параграфе, из теоремы моментов, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка. В данном случае, однако, удобнее применить теорему живых сил, которая непосредственно дает уравнение первого порядка. Живая сила в начальный момент /д по предположению равна нулю поэтому ее приращение в момент t равно самой живой силе, т. е. [c.75] Заменим о и Z их значениями в функции от 6,, т. е. [c.75] Уравнение (1), определяющее угол 0 в функции от t, совпадает с уравнением движения простого (или математического) маятника длиной I (п° 150). Изменения угла 0 в случае физического маятника, определяющие движение прямой ОГ и, следовательно, движение самого физического маятника, те же самые, как и изменения угла наклона 0 нити в случае простого маятника длиной I. Таким образом, движение физического маятника приведено к движению простого, или так называемого синхронного, маятника. [c.76] Отложим на прямой ОГ от точки О длину ОС, равную I (фиг. 44). Точка С физического маятника будет двигаться совершенно так же, как простой маятник. Можно предположить, ничего не изменяя в движении этой точки, что вся остальная часть тела, представляющего собой физический маятник, за исключением этой точки, лишена массы. Точка С называется центром колебаний. Точка О на неподвижной оси называется точкой подвеса маятника. [c.76] Длина О простого синхронного маятника называется также длиной физического маятника. [c.76] Точка подвеса О и центр колебаний С обладают замечательными свойствами, которые были открыты Гюйгенсом. [c.76] Чтобы это доказать, покажем, что 1 а. Пусть есть момент инерции тела относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяжести Г. [c.77] Под этим понимают, что если заставить тело вращаться вокруг оси, проведенной в этом теле через точку С (ранее бывшую центром колебаний) параллельно прежней оси, проходившей через О, то точка О будет центром колебаний нового маятника. [c.77] Величина сохраняет одно и то же значение, пока направление оси подвеса в теле не изменяется, и, в частности, имеет то же значение, если новая ось подвеса параллельна старой и проходит через С. При этом изменении оси подвеса первый множитель ГО произведения заменяется вторым ГС, и так как произведение обоих множителей остается то же самое, то второй множитель ГС также должен быть заменен первым. Если С станет центром пОдвеса, то О сделается центром колебаний. [c.77] В самом деле, к к а имеют соответственно одни и те же значения для всех указанных случаев, и формула (3) дает поэтому одно и то же значение для I. [c.78] Таким образом, для осей подвеса, имеющих одно и то же направление в теле, длина маятника будет наименьшей, когда центр тяжести находится на равных расстояниях от центра колебаний и центра подвеса. [c.78] В маятнике, применявшемся Борда, было а— м, / = 0,025 м. Разность I — а не достигает в этом случае мм, поэтому практически ею можно пренебречь. [c.78] Следовательно, на основании свойств корней квадратного уравнения, имеем а- - а — I, что и доказывает теорему. [c.79] По этому принципу построен оборотный маятник Катера, который применяется в геодезии, так как его устройство позволяет легко получить заданную длину маятника. [c.79] Вернуться к основной статье