ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема моментов и теорема площадей из "Лекции по теоретической механике Том 2 " Производная по времени от суммы моментов количеств движения всех точек системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил относительно той же оси. [c.11] Возьмем в качестве полюса точку О и построим результирующий момент (ОК) количеств движения точек системы относительно центра О. Вектор ОК) называют главным моментом количеств движения или кинетическим моментом системы относительно точки О. [c.11] Левые чаети этих равенств представляют собой проекции скорости точки К на оси, что и доказывает теорему. [c.12] Это равенство представляет собой геометрическое выражение теоремы моментов, так как левая часть есть скорость точки К (для которой К является радиусом-вектором). [c.12] Примем неподвижную ось за ось г теорема моментов. [c.12] Постоянная С называется постоянной площадей. [c.13] Если результирующий момент внешних сил относительно какой-н115удь неподвижной оси постоянно равен нулю и если из полюса, взятого на этой оси, провести радиусы-векторы к каждой точке системы, то сумма пло-ш,адсй, описываемых проекциями этих радиусов-векторов на неподвижную плоскость, перпендикулярную к оси, умноженных на массы соответствующих точек, изменяется пропорционально времени. [c.13] Если результируюш,ий момент внешних сил относительно некоторой неподвижной точки постоянно равен нулю, то кинетический момент относительно той же точки остается постоянным по величине и направлению во все время движения. [c.14] Постоянная площадей С есть проекция кинетического момента (ОК) на нормаль Ог к плоскости проекций ху. Отсюда следует, что среди всех плоскостей, проходящих через точку О, плоскость, для которой постоянная площадей имеет наибольшее значение, перпендикулярна к вектору кинетического момента (ОК), не изменяющегося ни по величине, ни по направлению. Эту плоскость называют плоскостью максимума плош,а-дей, так как для этой именно плоскости сумма тЗ площадей, описанных начиная с некоторого начального момента, имеет наибольшее абсолютное значение. [c.14] Легко также заметить, что постоянная площадей равна нулю для всякой неподвижной плоскости, проходящей через вектор кинетического момента (ОК). [c.14] Из изложенного видно, что при движении любой материальной системы внутренние силы, как бы велики они ни были и как бы они ни изменялись, не оказывают никакого влияния на величину и направление кинетического момента системы. Одни лишь внешние силы могут заставить изменяться кинетический момент, и то лишь при условии, что их результирующий момент не равен нулю. Дадим несколько примеров, где это замечание находит приложение. [c.14] При движении снаряда внешними силами являются силы тяжести, если пренебречь сопротивлением воздуха. Сумма моментов этих сил относительно любой вертикали равна нулю, и, следовательно, сумма площадей, описываемых проекциями радиусов-векторов на горизонтальную плоскость, изменяется пропорционально времени, какова, бы ни была точка этой плоскости, взятая за полюс. Когда происходит разрыв снаряда, то силы, действующие в этот момент, представляют собой лишь внутренние силы, и потому взрыв не изменяет значения постоянного отношения между площадями, описываемыми проекциями радиусов-векторов частиц, и временем. [c.15] Подобные же заключения могут быть применены и к живым существам. Так, силы, возникающие в теле человека по его воле и позволяющие ему двигать своими членами, являются по отношению ко всему телу лишь внутренними силами, действиями и противодействиями, всегда равными между собой и противоположно направленными. Предположим, например, что человек стоит на совершенно гладком льду. Внешние силы приводятся к весу и вертикальной реакции льда, и потому их момент относительно любой вертикали равен нулю. Сумма площадей, описываемых проекциями радиусов-векторов на горизонтальную плоскость, изменяется пропорционально времени (если она изменяется), и никакие усилия человека не могут оказать влияния в этом отношении. Если человек сначала был в состоянии покоя, то, что бы он ни делал, сумма площадей, описываемых проекциями радиусов-векторов, всегда останется равной нулю. Не следует, однако, забывать, что площади, описываемые в одном направлении, положительны, а описываемые в противоположном направлении отрицательны. Поэтому человек может описывать одной частью своего тела положительные площади, при условии, что другая часть будет описывать отрицательные площади, так чтобы оба движения в точности компенсировали друг друга. Он может в результате комбинированных движений оказаться в таком конечном положении, которое геометрически получается из начального положения вращением всего тела, хотя само такое вращение тела как одного целого и невозможно. [c.15] Вернуться к основной статье