ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы НАЧАЛА ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ Векторы. Операции над векторами из "Лекции по теоретической механике Том 1 " В аналитической геометрии вектор определя тся координатами его начала и конца по отношению к трем осям прямоугольным или косоугольным). Можно также определить вектор координатами его начала и алгебраическими значениями X, Y, Z его проекций на оси. При этом предполагается, что проектирование выполняется параллельно координатным плоскостям, так что, если х,у,г — координаты начала вектора, то х- -Х, y- -Y, z- -Z — координаты его конца. [c.7] Если рассматривают векторы, имеющие общее начало О, то каждый из них можно представлять только его концом Р и обозначать в виде Р или Р. Вектор/ определяет в этом случае положение точки Р мы будем говорить. [c.7] Вектор полностью определяется своей величиной, направлением несущей его прямой, ориентацией и точкой приложения. Однако для определения вектора не обязательно задавать все эти четыре элемента. В связи с этим удобно различать три категории векторов в зависимости от условий, наложенных на точку приложения. [c.8] Свободный вектор определяется величиной, направлением его линии действия и ориентацией, точка же приложения его может быть взята произвольно. Скользящий вектлр определяется величиной, направлением линии действия, ориентацией и, кроме того, положением линии действия, вдоль которой вектор может скользить свободно. Вектор, для определения которого необходимо задать все элементы, включая и точку приложения, представляет собой вектор приложенный, или неподвижный. [c.8] Направление и ориентация вектора ОР определяются тремя его направляющими косинусами. [c.8] Умножить вектор V на отрицательное число —т значит построить вектор—mV, противоположный вектору mV. [c.9] Разделить вектор на число значит умножить его на число, обратное данному. [c.9] Так как точка О взята произвольно, то геометрическая сумма нескольких векторов есть вектор свободный. [c.10] Геометрическое равенство (1) эквивалентно трем алгебраическим соотношениям (2). Поэтому переместительный. и сочетательный законы алгебраического сложения распространяются и на сложение векторов. [c.10] На основании законов сложения эта разность представляет собой вектор, который нужно прибавить к V, чтобы получить V. [c.10] Необходимо, очевидно, показать, что выбор точки О не оказывает влияния на значение момента, определенного указанным здесь способом. [c.12] Так как векторы G и Gj расположены по одну сторону от плоскости, нормальной к Oz, то Gj есть геометрическая проекция G на Ог. [c.13] Момент вектора V относительно оси Ог есть алгебраическое значение момента относительно некоторой точки О этой оси проекции вектора V на плоскость, перпендикулярную к оси и проходящую через точку О. [c.13] Это определение, очевидно, не зависит от выбора точки О на оси Oz, а потому то же справедливо и для первого определения. [c.13] Замечания. — Г. Момент вектора V относительно оси Ог будет положительным или отрицательным, смотря по тому, будет ли проекция вектора на плоскость, перпендикулярную к оси Ог, ориентирована в положительную или отрицательную сторону вращения вокруг Ог. [c.13] Приложим оба вектора Vj и Vg к одной точке О векторное произведение есть вектор, равный по величине площади параллелограма, построенного на этих векторах, направленный по нормали к плоскости этих векторов И ориентированный так, чтобы вращение от Vj к Vg происходило вокруг него в прямом направлении. [c.15] Если векторы параллельны между собой, то их векторное произведение равно нулю. [c.15] Из этого определения следует, что векторное произведение не обладает переместительным свойством два произведения [ViVj] и противоположны. [c.15] Векторное произведение приводится к моменту. В самом деле, приложим вектор к точке О, а вектор к концу V j первого вектора. Непосредственно видно, что произведение [V V ] равно моменту вектора относительно точки О. [c.15] Принимая точку О за начало прямоугольных осей, непосредственно получаем проекции произведения [VjVglHa эти оси Ох, Оу и Ог или на оси, параллельные им. [c.15] Вернуться к основной статье