ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамика упругих волн. (Упругие волны в тонком стержне. Поперечные волны в натянутой струне. Стоячие волны как собственные колебания струны из "Механика " Чтобы наглядно представить процесс колебаний в стоячей волне, заметим, что ее мгновенный профиль получается умножением амплитудной функции А(х) синусоидальной формы на меняющийся со временем множитель совсо1. На рис. 124 представлены профили стоячей волны за первую половину периода колебания Г в последовательные моменты времени / = 0, Г/8, Т/4, ЗГ/8, Г/2. , В течение второй половины периода профиль волны пройдет те же стадии в обратном порядке и далее процесс периодически повторяется. Таким образом, профиль стоячей волны, в отличие от бегущей, не перемещается вдоль оси Ох, откуда и проистекает ее название. [c.135] Непосредственной подстановкой легко убедиться, что стоячая волна (41.1), как и бегущая, удовлетворяет дифференциальному волновому уравнению (40.3). (Студенту, знакомому с теорией дифференциальных уравнений, этот результат очевиден стоячая волна является суммой двух бегущих волн, а сумма двух решений линейного однородного дифференциального уравнения, каковым является уравнение (40.3), также есть решение этого уравнения.) Из проведенного анализа следует, что фаза колебаний при переходе через узел меняется на противоположную, в то время как согласно (41.1) начальные фазы колебаний во всех точках казалось бы одинаковы и равны нулю. Предлагаем читателю решить этот кажущийся парадокс. [c.135] Ознакомившись с описанием и общими свойствами волновых процессов, перейдем к изучению динамики упругих волн. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, при каких условиях возникают волновые процессы и как зависят скорость и конкретная форма волны от параметров, характеризующих эти условия. Решение этой задачи в общем виде выходит за рамки общего курса физики, поэтому мы ограничимся рассмотрением нескольких частных задач, связанных с распространением упругих волн. [c.135] Таким образом, продольные возмущения в тонком упругом стержне подчиняются волновому уравнению (40.3) и, следовательно, могут распространяться в виде волны той или иной формы. [c.136] Частным решением уравнения (42.3) является, естественно, и статическая деформация однородного растяжения-сжатия, так как для нее д jdt = О вследствие статичности, а d jdx = onst, т.е - вследствие однородности деформации. Любая же неоднородная деформация нестатична как следует из (42.3), при d j дх Ф О также и dt Ф 0). [c.136] В общем случае в упругом твердом теле возникают две волны - продольная и поперечная, распространяющиеся с соответствующими скоростями (42.4) и (42.8). [c.137] Разделив обе части этого уравнения на Дх и переходя к пределу при Дх- 0, получим р = Р , т.е. [c.138] Отметим, мто во всех рассмотренных случаях (см. формулы (42.4),(42.8) и (42.13)) плотность вещества стоит в знаменателе подкоренного выражения с увеличением плотности скорость волны уменьшается, так как сильнее проявляются инертные свойства вещества. [c.138] Такого рода собственные колебания (гармоники, модаг) присущи любому упругому тепу, хотя их форма и спектр частот могут быть весьма сложными. По смыслу они аналогичны нормальным колебаниям в связанных системах (см. о. 120-122) в обоих случаях произвольное колебание системы является их суперпозицией. В связанной системе масса системы сосредоточена в телах (пружины невесомы), а упругость - в пружинах (тела абсолютно твердые) поэтому ее называют системой с сосредоточенными параметрами. Такая система состоит из конечного числа тел, она имеет конечное число колебательных степеней свободы и, соответственно, конечное число нормальных колебаний. В сплошном массивном упругом теле (стержень, струна) упругие и инертные свойства, характеризуемые, соответственно, модулями упругости и плотностью вещества, распределены по телу непрерывно. Его можно рассматривать как совокупность бесконечного шсла бесконечно малых элементов соответственно, оно имеет бесконечное число колебательных степеней свободы и как следствие - бесконечное число собственных колебании, как показано на примере закрепленной струны. [c.139] Вернуться к основной статье