ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные гармонические колебания. (Пружинный маятник. Физический и математический маятники. Крутильные колебания. Нелинейные колебания. Колебания связанных систем из "Механика " Это уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами 2А, и 2 (рис. 103 а). (То, что траектория не выходит за рамки указанного прямоугольника, очевидно заранее, так как согласно (35.6) х , и 4j ). [c.112] Это - уравнение эллипса, расположенного симметрично относительно координатных осей (эллипс на рис. 103 б). При равных амплитудах А, = А =А уравнение (35.9) превращается в уравнение окружности радиуса А +y =. [c.112] Полученные результаты можно использовать при сложении взаимно перпендикулярных векторов, изменяющихся по закону гармонического колебания с одинаковой частотой , = sin ot и , = , sin(u)/ + ip), где и - постоянные амплитудные векторы. В этом случае уравнения (35.7-10) с и вместо /1, и А, определяют линию, которую описывает конец суммарного вектора Е = Е, + (рис. 103 в). [c.113] Теперь мы переходим к изучению динамики колебательных движений. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, под действием каких сил происходят те или иные механические колебания. В процессе решения этой задачи устанавливается, как зависят характеристики колебаний от параметров, характеризующих условия, при которых происходят колебания. [c.113] Колебания можно классифицировать в зависимости от условий, обеспечивающих их протекание (вид сил, действующих в колебательной системе, способ ее подпитки энергией и т.п.). В этой связи можно упомянуть автоколебания, когда колеблющемуся телу в нужные моменты времени за счет специального устройства сообщается энергия от внешнего источника, не дающая колебаниям затухнуть. Школьный пример автоколебаний - часы-ходики, где колеблющимся телом является маятник, источником энергии - поднятая гиря, регулятором поступления энергии от гири к маятнику - анкер. Большое сходство с автоколебаниями имеют релаксационные колебания, когда система периодически выводится из положения равновесия, в которое возвращается (релаксирует) самостоятельно. Мы, однако, ограничимся рассмотрением двух видов колебаний свободных, или собственных колебаний, -как незатухающих, так и затухающих, - и вынужденных. [c.113] Настоящий параграф посвящен изучению свободных гармонических колебаний. Будут рассмотрены три примера, из которых станет ясно, что понимается в физике под свободными гармоническими колебаниями и как зависят их характеристики от параметров колебательной системы. [c.113] Пружинный маятник. Рассмотрим тело массой т, прикрепленное к концу упругой невесомой пружины жесткостью к, другой конец которой закреплен неподвижно (п р у-ж и н н ы й маятник). Чтобы в уравнение движения тела не вошла сила тяжести, не ипзающая принципиальной роли для возникновения колебаний, расположим тело на гладкой горизонтальной поверхности, прикрепив свободный конец пружины к неподвижной стенке (рис. 105). Координатную ось Ох направим горизонтально от стенки, выбрав начало отсчета О в центре масс тела, когда оно находится в положении равновесия и пружина не деформирована. Если вывести тело из положения равновесия, сместив его или сообщив ему начальную скорость вдоль оси Ох (или сделав и то, и другое), а затем предоставить самому себе, то оно будет двигаться вдоль этой оси. [c.114] Для нахождения кинематического закона движения тела. ii (/) необходимо записать уравнение движения, т.е. второй закон Ньютона в дифференциальной форме в проекции на ось Ох. и найти его решение. Из трех сил, действующих на тело, когда оно находится в некоторой точке траектории с координатой х силы тяжести mg. [c.114] Рассмотренная задача - типичный пример свободных гармонических колебаний с одной степенью свободы, т.е. описываемых одной изменяющейся со временем координатой, в нашем примере - координатой тела х(1). Их отличительная черта состоит в том, что они всегда происходят с определенной частотой, зависящей только от параметров системы, в нашем случае - от массы тела и жесткости пружины. Что касается амплитуды и фазы, то они определяются начальными условиями, т.е. зависят от способа возбуждения колебаний. [c.115] Если пружинный маятник подвешен вертикально (рис. 106), за счет действия силы тяжести mg положение равновесия сместится вниз на расстояние Д/ =тё к, так как в положении равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения пружины к Л/, =mg. В системе координат с началом отсчета в новом положении равновесия О уравнение движения тела имеет вид m(a v /rf ) = k(x + i l ,) + mg, так как в этой СО удлинение пружины Л/ = х + Д/ . Слагаемые -к и mg. в правой части взаимно уничтожаются и уравнение движения принимает обычный вид (36.1). Следовательно, постоянная сила, действующая наряду с квазиупругой, приводит лишь к смещению положения равновесия, ничего не меняя в характере колебаний. [c.115] Физический и математический маятники. В качестве второго примера свободных гармонических колебаний рассмотрим малые колебания маятников, у которых момент силы, возвращающий тело в положение равновесия, обусловлен силой тяжести. Физическим маятником называется твердое тело, которое может свободно вращаться относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела (рис. 108). На этом рисунке г - радиус-вектор центра масс С маятника относительно перпендикулярной плоскости чертежа оси вращения О, вдоль которой - на читателя - направлена координатная ось Oz угол (р, характеризующий положение радиуса-вектора с, отсчитывается от вертикальной оси Ох в направлении, согласованном с направлением оси Oz правилом буравчика. [c.116] В необходимости знака минус в этой формуле легко убедиться например, в положении маятника, изображенном на рис. 108, р 0, а момент направлен за чертеж, т.е. М, 0 в согласии с формулой (36.10). [c.117] Другим примером крутильных колебаний относительно вертикальной оси являются колебания круглой платформы, подвешенной на трех нитях (трифилярный подвес) (рис. Ill б). Частота этих колебаний, как и в предыдущем случае, зависит от момента инерции системы. Размещая на платформе исследуемое тело и измеряя частоту свободных крутильных колебаний, можно вычислить его момент инерции. [c.119] Нелинейные колебания. Как мы видели, свободные упругие колебания являются гармоническими, если они происходят под действием квазиупругой силы, которая зависит от координаты линейно (отсюда другое их название - линейные колебания). Однако обьршо линейная зависимость от координаты описывает реальные силы лишь приближенно - при сравнительно малых смещениях тел от положения равновесия. Так, формула (36.7), которая использовалась для упругой силы в задаче о колебаниях пружинного маятника, справедлива лишь при малых деформациях, для которых вьтолняется закон Гука, а замена значения синуса значением угла в уравнении движения физического маятника (36.11) также возможна лшш. при малых углах отклонения от положения равновесия. Поэтому гармоническими обы шо являются лишь малые колебания. [c.119] Колебания связанных систем. До сих пор речь шла об отдельном осцилляторе, состоящем из даух тел (в пружинном и физическом маятниках вторым телом является Земля) и имеющем, соответственно, одну колебательную степень свободы, характеризуемую линейной X или угловой р координатой. В случае квазиупругих сил взаимодействия такой осциллятор может совершать гармоническое колебание с некоторой вполне определенной частотой, зависящей от параметров оси 1ЛЛЯТора. [c.120] Переменные (параметры) называются нормальными координатами системы. [c.121] Следовательно, колебания, совершаемые телами системы, представляют собой суперпозшдию нормаль ных колебаний, причем амплитуды Л,, и фазы р , р зависят от способа возбуждения и определяются начальными условиями. [c.121] Связанная система, подобная рассмотренной, но состоящая из большого числа тел, может служить одномерной моделью кристаллической решетки тела играют роль атомов (ионов), взаимодействие между которыми имитируют упругие силы в пружинах. [c.122] Вернуться к основной статье