ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вращательное движение тела относительно оси. (Кинематика. Момент импульса вращающегося тела. Уравнение движения для вращения тела относительно оси (уравнение моментов). Вычисление моментов инерции. Кинетическая энергия вращающегося тела. Центр тяжести. Прецессия гироскопа из "Механика " Кинематика. При описании вращения тела относительно оси условимся направлять ось Ог декартовой СО вдоль оси вращения. Положение тела можно охарактеризовать углом (р, который составляет радиус-вектор некоторой точки тела, лежащей в плоскости хОу, с осью Ох (рис. 47). Следовательно, тело, которое может совершать только вращательное движение относительно неподвижной оси, обладает одной степенью свободы. [c.62] Как следует из определения (19.7), момент инерции тела относительно оси зависит от того, как распределена масса тела относительно этой оси. Момент инерции тем больше, чем более удалены элементы тела от оси, так как тем больше их вклад (за счет в формуле (19.6)). Так, например, момент инерции однородного бруска максимален относительно оси симметрии 1, параллельной короткому ребру, и минимален относительно оси симметрии 2, параллельной длинному ребру Д (рис. 50). [c.63] Уравнение движения для вращения твердого тела относительно оси (уравнение моментов). Второй закон Ньютона для материальной точки (7.1) - (7.4), являясь в то же время законом поступательного движении тела, для вращательного движения тела как целого теряет смысл, поскольку в этом законе фигурирует ускорение одной точки, а при вращении тела его точки имеют различные ускорения. [c.64] Здесь радиус-вектор (относительно оси) точки приложения силы f + + = составляющая силы, перпендикулярная оси вращения а - угол между векторами и F , F = sin а - модуль активной составляющей F, силы F d = FiSma -плечо силы Fj (рис. 52). Знак входящей в уравнение (19.11) проекции М,= М необходимо проверять в каждом конкретном случае (см. далее формулы (36.10) и (36.20) и комментарий к ним). [c.65] Заметим, что уравнения движения для поступательного (второй закон Ньютона) и вращательного (уравнение моментов) движений имеют одинаковую структуру с той лишь разницей, что. в уравнении моментов вместо линейного стоит угловое ускорение, вместо суммарной силы - суммарный момент сил, а вместо массы тела - его момент инерции относительно оси вращения. (Такое формальное и смысловое соответстзие величин и формул, описывающих поступательное и вращательное движение тела, можно проследить и далее - см. таблицу на с. 70.) Поэтому для тела, вращающегося относительно оси, можно ставить и решать такие же задачи, что и для движения материальной точки или поступательного движения тела. Например, прямая задача в случае вращательного движения, т.е. нахождение кинематического закона вращения (p t), состоит в решении дифференциального уравнения (19.11) при заданных начальных условиях р(й)=ро и u,(0)= u . (Рекомендуем забежать вперед и сопоставить решения задач о свободных колебаниях пружинного и физического маятников в 36). [c.65] Вычисление моментов инерции. Являясь фундаментальной характеристикой тела, момент инерции появляется практически во всех формулах динамики вращательного движения твердого тела, поэтому возникает пролема его вычисления. [c.66] Ниже приводятся формулы для моментов инерции некоторых однородных тел простой формы относительно указанных осей симметрии цилиндра, шара и прямоугольного параллелепипеда (т - масса тела, обозначения размеров показаны на рисунке оси проведены штрих-пунктирной линией). [c.66] Моменты инерции оказываются пропорциональными массе тела и квадрату его характерного размера в направлении, перпендикулярном оси вращения. При этом коэффициент пропорциональности как правило меньше единицы, так как для большинства элементов тела их расстояние до оси меньше входящего в формулу размера тела. [c.67] Поскольку в зависимости от условий задачи тело может участвовать во вращении относительно той или иной оси, возникает необходимость находить момент инерции тела относительно любой оси. Существуют две теоремы, позволяющие выразить момент инерции тела относительно произвольной оси всего через три значения момента инерции, сводя тем самым задачу к нахождению этих трех так называемых главных значений момента инерции. В теоретической механике доказывается, что у всякого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые замечательны тем, что тело, будучи вовлеченным в свободное вращение относительно этих осей, стремится сохранить состояние равномерного вращения и ориентацию оси в пространстве, т.е. такие вращательные движения обладают инерцией. Эти оси называются главными осями инерции,а моменты инерции тела относительно них и являются главными значениями момента инерции тела. Заметим, правда, что вращение относительно главной оси, которой соответствует промежуточное по величине значение главного момента инерции, является неустойчивым. [c.67] У тел с симметричным распределением массы всякая ось симметрии является главной осью инерции. Например, у однородного цилиндра таковыми являются ось симметрии, параллельная образующей цилиндра (указанная на рисунке вверху страницы) и бесчисленное множество перпендикулярных ей осей симметрии, проходящих через центр масс цилиндра. У однородного шара любая ось, проходящая через его центр, является главной осью инерции. Убедиться в инерционности вращения тела относительно главных осей инерции можно, если подбрасывать пустой спичечный коробок, щелчком вовлекая его во вращение. Инерцию проявят только вращения относительно главных осей / и 2 (рис. 50), а вращение относительно оси 3 с промежуточным по величине главным значением момента инерции /3 (/, /, /,), как и относительно любой другой оси, осуществить не удастся. [c.67] Доказательство этой теоремы выходит за рамки курса общей физики. [c.67] Теорема о параллельных осях позволяет выразить момент инерции относительно любой оси через момент инерции того же тела относительно оси, проходящей через центр масс, который в свою очередь согласно формуле (19.13) выражается через главные значения момента инерции. Таким образом для нахождения момента инерции тела относительно любой оси достаточно знать три главных значения его момента инерции. [c.68] Для тел сложной формы или неоднородных по составу, когда плотность зависит от координат, непосредственный теоретический расчет главных значений момента инерции может оказаться затруднительным и даже вообще неосуществимым. Тогда на помощь приходят экспериментальные методы измерения моментов инерции. Один из таких методов основан на крутильных колебаниях, в которые тем или иным способом вовлекается исследуемое тело. Частота крутильных колебаний зависит от момента инерции тела (см. формулу (36.23) на с. 119) и последний может быть рассчитан, если измерить частоту колебаний и параметры установки, входящие в расчетную формулу. [c.69] Снова прослеживается аналогия с поступательным движением, при котором с учетом соответствия т г l,v со обе формулы совпадают. [c.69] Здесь - радиус-вектор центра масс тела, определяемый формулой (19.16). [c.71] Таким образом центр масс тела замечателен не только тем, что его движение подчиняется второму закону Ньютона, но и тем, что он является точкой приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на элементы тела. Отсюда и второе название этой точки - центр тяжести. [c.71] Прецессия гироскопа. Гироскопом (от слов giro - вращение, sl opeo - смотреть) называют симметричный волчок, обладающий большим моментом инерции I относительно оси симметрии, которая, как отмечалось ранее, является одной из его главных осей инерции. Именно вращаясь относительно своей оси симметрии с большой угловой скоростью сэ , т.е. обладая большим собственным моментом импульса = относительно этой оси, гироскоп проявляет свои специфические свойства, об одном из которых пойдет речь. [c.72] Многие вращательные движения в природе сопровождаются более или менее ярко выраженной прецессией прецессирует ось вращения Земли прецессируют в магнитном юле оси орбит атомных электронов, обуславливая намагничивание вещества. [c.74] Плоское движение, при котором точки тела, по определению, движутся в параллельных плоскостях, можно представить как поступательное движение тела вместе с осью, перпендикулярной этим плоскостям, и вращение относительно этой оси. Как будет показано далее, целесообразно выбрать ось вращения проходящей через центр масс С. Для описания движения тела используем две системы отсчета неподвижную инерциальную СО К, в координатной плоскости хОу которой движется центр масс тела, и вторую, связанную с телом СО К, у которой начало координат совпадает с центром масс С тела, а координатные оси Сх , Су. Сг параллельны координатным осям Ох. Оу. Ог неподвижной СО (см.рис, 62, на котором оси Ог и Сг направлены на читателя). Тогда положение тела в любой момент времени определяется заданием положения оси вращения Сг, которое описывается двумя координатами центра масс хДО и ,(/), и углом характеризующим поворот тела относительно оси Сг. Следовательно, тело, которое может совершать плоское движение, обладает тремя степенями свободы. [c.74] Вернуться к основной статье