ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Второй закон Ньютона как дифференциальное уравнение движения из "Механика " Согласно первому закону Ньютона материальная точка движется в инерциальной СО с постоянной скоростью, если она свободна, т.е. на нее не действуют другие тела. Воздейстаие со стороны окружающих тел приводит к изменению скорости материальной точки, т.е. вызывает ускорение. [c.27] Уравнения, даваемые вторым законом Ньютона, позволяют решить целый ряд задач. Важнейшей является основная, или прямая задача динамики материальной точки, состоящая в том, чтобы в каждом конкретном случае уметь находить ее кинематический закон движения (1.2). Для решения этой задачи помимо массы т точки должны быть известны формулы для всех действующих на нее сил (о силах, изучаемых в механике, и закономерностях, которым они подчиняются, см. 10). Однако и при наличии такой информации уравнения (7.2), записанные как алгебраические соотношения между силой и ускорением, дают возможность решить прямую задачу динамики по существу лишь для равнопеременного (а = onst) движения, которое происходит под действием постоянной силы (f = onst). В этом случае кинематический закон движения дается известными из школьного курса физики формулами x i) = x +v t+a r/l (и аналогичными для y t) и г(/)), в которых проекции ускорения определяются из уравнений (7.2), а начальные координаты Х , = х(0), = (0), =2(0) и проекции скорости = v (0), Vj,, = v (0), v,D = v,(0) точки предполагаются заданными. [c.29] Эти уравнения называются уравнениями движения материальной точки они представляют собой систему трех дифференциальных уравнений для трех неизвестных функций времени х(1), у(т), z(t). В математике уравнение называется дифференциальным, если в него наряду с неизвестной функцией входят также ее производные. Высший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения, и поскольку в формулы для сил не входят производные координат выше первого порядка (см. далее формулы (10.3), (10.10), (10.13), (10.14), (10.16)), то каждое из трех уравнений в (7.4) - второго порядка. [c.29] К сожалению найти точное решение уравнений движения удается лшль в редких случаях, когда формула для силы имеет достаточно простой вид. Поэтому прямая задача динамики обычно решается приближенными методами. Опишем простейшую процедуру приближенного расчета траектории материальной точки, предложенную самим Ньютоном. Движение разбивается по времени на этапы (шаги) малой длительности Д/ каждый, и траектория восстанавливается поэтапно. Пусть в начальный момент времени / = О радиус-вектор точки и ее скорость равны, соответственно г(0) Гд и (0) — Уд. Малое перемеш екие Дк точки на первом этапе согласно (2.2 ) приближенно равно Дг = Лi, так гго в конце первого этапа ее радиус-вектор i = И- Д (см. рис. 11). Скорость точки на первом этапе получит приращение, которое согласно (3.2) приближенно равно Ду = Д/, и станет равной в конце первого этапа V, = -Ь А1 Ускорение Дд на первом этапе можно считать постоянным и определить его из второго закона Ньютона , исполь-зуя значение силы в начале этапа (в улучшенных методах ускорение на этапе вычисляется при помощи более утонченной процедуры). Таким образом удается определить значения радиуса-вектора Г] я скорости V, в конце первого, т.е. в начале второго, этапа и процедура может быть продолжена. Подчеркнем, что ускорение на каждом / -м этапе определяется значением силы на этом этапе Д — )1т, поэтому для решения задачи результирующая сила должна быть известна как функция координат и скорости точки во всей области пространства, где ищется траектория. [c.30] Чем меньше временной шаг Д/ в описанном алгоритме, т н ближе рассчитанная траектория к истинной. Современные ЭВМ о их колоссальными памятью и быстродействием позволяют эффективно осуществлять расчет траекторий с любой требуемой степенью точности. [c.30] Вернуться к основной статье