ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Инварианты плоской и пространственной связанной (пластичность-поврежденность) задачи из "Линейная механика разрушения Издание 2 " Здесь — угол между касательной к проекции пзостаты с номером I на плоскость, нормальную изостате с номером к, и фиксированным нанравлением в этой плоскости. [c.474] Ниже приводятся основные сведения, относящиеся к определению, свойствам и применению преобразований Лежандра и Ампера (см. также [ ], с. 140-142 [ ], с. 95-104). Эти преобразования широко используется в математической физике, в частности, для точной линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. [c.475] Рассмотрим достаточно гладкую функцию f xk), определенную в некоторой области пространства п измерений. [c.475] Согласно построению преобразование Лежандра корректно определено только в достаточно малой окрестности точки х . Однако если функция f xk) строго выпукла в некоторой выпуклой области, то преобразование Лежандра корректно определено всюду в этой области. [c.475] Таким образом, восстановить исходную функцию по ее преобразованию Лежандра очень просто достаточно применить еще раз это же преобразование. Ясно, поэтому, что преобразование Лежандра инволютивно, т.е. его квадрат есть тождественное преобразование. Это свойство преобразования Лежандра обычно называют свойством взаимности. [c.476] Рассмотрим далее преобразование Лежандра от функции двух независимых переменных /(ж1, Ж2). Будем пользоваться классическими обозначениями Монжа р, д, г, в, I для первых и вторых частных производных от функции /. Соответствующие производные от / обозначим через р, q, г, в, I. [c.476] Вычислим теперь вторые частные производные г, 8, 1. [c.476] Изображение но Амнеру уравнений в частных производных уже не требует выполнения условия (J), но, очевидно, возможно только при условии 7 0. Заметим также, что уравнение Н — 8 = О с успехом интегрируется с помощью преобразования Амнера (см., например, [ ], с. 142). [c.477] Длина пластической зоны с неизвестна и должна быть определена в процессе решения задачи из условия непрерывности напряжений на продолжении трещины. [c.478] Решение сформулированной задачи можно представить в виде суперпозиции решений двух задач растяжения пластины без трещины напряжениями сг , приложенными на бесконечности, и нагружение пластины с трещиной длины 21 напряжениями действующими на берегах трещины так, что суммарно выполняются приведенные выше краевые условия. Напряжения, соответствующие каждой из задач, в дальнейшем обозначены через сг/ - и а , поэтому напряжения исходной задачи имеют вид aij = + а . [c.478] Решение сформулированной задачи можно получить, если использовать общие формулы смешанной задачи теории аналитических функций для полуплоскости. [c.479] Полином Рп-1 исчезает в силу условия на бесконечности. [c.480] Для комплексных значений неременной р значения исследуемого интеграла следует получать как результат аналитического продолжения. Поэтому приведенная выше формула будет справедлива и для комплексных значений р, нри условии, что ветвь корня выбрана так, чтобы ее значение было вещественным и положительным, если р [—/ — с, / + с], а ветвь логарифма такова, что при р [—/ — с, / + с] ее следует рассматривать как соответствующую вещественную функцию. [c.481] Значение комплексного потенциала р [г) на отрезке г [—/ — с, / + с] можно получить как результат аналитического продолжения (при этом используются соответствующие формулы для интегралов (Л) и (К)). [c.482] Ниже приводятся разложения эллиптических интегралов Лежандра и эллиптических функций Якоби в ряды Фурье, пригодные для быстрого вычисления их значений. [c.485] Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М. Наука, 1970. 304 с. [c.485] В случае осесимметричной деформации удобно ввести цилиндрическую систему координат г, if, Z. [c.491] Вернуться к основной статье