ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Трещина нормального отрыва (плоское деформированное состояние) Решение методом разложения по собственным функциям из "Линейная механика разрушения Издание 2 " В теории ползучести большое внимание уделяется как построению общих соотношений для неуиругих сред, так и выбору конкретных определяющих зависимостей. Проблема состоит в том, чтобы определяющие уравнения не только достаточно хорошо описывали наблюдаемые в экспериментах явления, но и были удобны нри практическом пспользовапип в расчетах. В теории ползучести существует несколько подходов построения общих соотношений. Одним из наиболее развитых подходов является теория механического уравнения состояния, развитая в монографии Ю. П. Работнова [ ]. В этом варианте теории ползучести скорость деформации ползучести выражается в явном виде как функция напряжения, температуры п параметров, характеризующих структурные особенности материалов. [c.365] Далее будут построены асимптотические разложения для компонент вектора скорости перемещений, тензоров скоростей деформаций ползучести и напряжений. Причем следует отметить, что сначала, исходя из вида самого определяющего соотношения, строится разложение компонент тензора напряжений, по ним восстанавливаются разложения скоростей деформаций, а затем — скоростей перемещений. [c.366] С другой стороны, поскольку скорости перемещений не могут быть сингулярными в окрестности вершины трещины, то можно ностроить асимптотическое разложение скорости перемещения, по которому восстановить асимптотическое разложение скоростей деформаций и, далее, разложение компонент тензора напряжений. [c.366] Таким образом, будут получены две группы асимптотических разложений, представляющих собой, очевидно, решение одной и той же задачи. Сравнение построенных разложений по собственным функциям приводит к отысканию неизвестных собственных значений задачи. [c.366] В дальнейшем знак над символом и индекс у компонент тензора напряжений и скоростей деформаций опускаются. [c.368] При исиользовании дробно-линейной зависимости напряжения являются огра-ппченнымп величинами, а скорости деформаций ползучести, в принципе, могут иметь особенность. Ясно, что представления ( ) и ( ) позволяют моделировать такое поведение напряжений и скоростей деформаций ползучести в окрестности верглины трещины. [c.369] Коэффициенты следующих приближений Тз (р) определяются пз уравнения равновесия и условия совместности. [c.370] Следует отметить, что асимптотические разложения для компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций ползучести определялись двумя способами 1) разыскивалось асимптотическое разложение для напряжений, по которому впоследствии восстанавливалось асимптотическое представление для скоростей деформаций 2) по найденному приближенному решению для компоненты вектора перемегцения определялись асимптотики скоростей деформаций и напряжений. Одпако и ( ), и ( ) представляют собой решения одной и той же задачи и, следовательно, упомянутые формулы должны приводить к одной и той же зависимости скоростей деформаций от г и тому же угловому распределению. А это возможно лишь прп а = ц = —1/2. [c.372] Очевидно, что построенное приближенное решение задачи методом разложения в степенные ряды хорошо согласуется с имеющимся точным решением для полубесконечной трещины антинлоского сдвига, приведенном в разделе асимптотики скоростей деформаций сдвига точного и приближенного решений совпадают. Поэтому этот метод может быть применен к анализу более сложных задач о трещинах нормального отрыва и нонеречного сдвига. [c.375] Следует отметить, что условиям на берегах трегцпны п на ее продолжении поле напряжений, определяемое асимптотическим разложением ( ), не удовлетворяет. Поэтому область, в которой регпепие описывается формулами ( ) и ( ), не примыкает к лучам (р = О и (р = тг. [c.379] Таким образом, задача определения нулевого приближения для компонент тензора папряжепий является статически определимой и ее реглепие есть ( ). [c.381] Однако скорости деформаций ползучести, определяемые полученными выше формулами ( ) и ( ), представляют собой решение одной п той же задачи и поэтому должны совпадать. Следовательно, для собственных значений двух различных асимптотических разложений справедливы равенства а = (I = 1/2. [c.382] Такая ситуация не является исключительной в теории асимптотических методов. Например, при изучении дифференциальных уравнений с большим параметром известно решение Вентцеля, Крамерса и Брил-люэна (ВКБ-приближение) [ ]. ВКБ-приближения становятся непригодными в так называемых точках поворота (точках, где асимптотическое решение имеет особенность.) Для того, чтобы построить разложение, пригодное в окрестности точки поворота, в теории асимптотических методов вводят растягиваюш,ее преобразование независимой переменной в окрестности точки поворота, а затем строится решение, пригодное в данной окрестности. Поэтому для нахождения асимптотики в окрестности ( = тг/2 необходимо провести дополнительное исследование. [c.385] Вернуться к основной статье