ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численный анализ задачи на собственные значения в случае горизонтальной трещины из "Линейная механика разрушения Издание 2 " Рассмотрим иолубесконечную трещину в нелинейно упругой среде в условиях плоского напряженного (плп плоского деформированного) состояния. [c.304] Как показывают эксперименты, типичное значение показателя нелпнейно-стп п для металлов находится в пределах от 3 до 8, для некоторых видов сплавов опо может достигать значений 10-13. [c.305] Примем также условие несжимаемости. [c.305] В случае плоской деформации. [c.305] В случае плоской деформации. [c.307] что к этим уравнениям следует добавить краевые условия, соответствующие тому или иному тину нагружения трещины (нормальный отрыв или нонеречный сдвиг). [c.308] На берегах трегцины должны выполняться условия отсутствия поверхностных усилий, т.е. при р = 7г = 0. [c.309] Кроме того, для этих типов трегцип должны выполняться следуюгцие условия симметрии в случае трегцины нормального отрыва функция — нечетная, а Пг — четная относительно оси т.е. [c.309] Сформулированная краевая задача допускает группу преобразований / = С /, р = р, г = С2Г, где под / подразумеваются напряжения (или деформации), С и С2 — параметры группы. [c.309] Таким образом, на отрезке [О, тг] для уравнения четвертого порядка относительно функции /((/ ) получается двухточечная краевая задача, в ходе регпепия которой определяется собственное значение Л и функция /((/ ). Для любого заданного значения п можно нолучить численное решение этой задачи. Упругая постоянная а в данной краевой задаче не присутствует, т.к. она появляется только при вычислении компонент тензора деформаций. [c.310] Для нахождения численного решения приведенных выше краевых задач удобно использовать метод пристрелки. [c.310] Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно подлежащей определению функции /(( ) уже обсуждалось выше (см. уравнение ( ) нри плоском напряженном состоянии и уравнение ( ) нри плоской деформации). В этих уравнениях безразмерную интенсивность напряжений следует вычислять по соответственно по формулам ( ), ( ). [c.310] В общем решении для компонент тензора напряжений присутствует пеопре-делеппый множитель К. Появление множителя К обусловлено однородностью краевой задачи на собственные значения. Таким образом, без ограничения общности можно положить значение константы с равным какому-либо ненулевому числу. Пусть С1 = 1. В результате формально получается, что с помощью подбора только одной константы необходимо удовлетворить сразу двум условиям отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины. Однако в силу симметрии задачи одно этих условий будет заведомо выполняться. Так, для трещины нормального отрыва необходимо удовлетворить только условию / (тг) = О, а для трещины нонеречного сдвига — условию /(тг) = 0. [c.311] То граничное условие на нравом конце интервала (0,тг), которое должно выполняться нри реализации метода пристрелки, обозначим через /ь /1 = / (тг) для трещины нормального отрыва, /1 = /(тг) для трещины нонеречного сдвига. [c.311] Для реализации метода Ньютона необходимо задать начальное значение а также знать производную функции (1/1(02)/(1с2. В нашем случае аналитический вид функции /1 неизвестен, однако ее значения можно вычислить, решая соответствующую задачу Коши, поэтому будем вычислять производную с помощью копечноразпостных отношений. [c.312] Центральная разностная схема более иредночтительна, т.к. она имеет второй порядок аппрокспмацип, в то время как правая разностная схема имеет только первый порядок. [c.312] Итерационный процесс метода Ньютона заканчивается тогда, когда будет выполняться неравенство /i( 2 ) , где —заданная точность вычислений. [c.313] Вернуться к основной статье