ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамика численности популяции на больших интервалах времени из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " Применим теперь изложенную в 5 классификацию границ к описанным выше моделям. Будем понимать их в смысле Ито, т.е. коэффициент сноса описывается (8.1), а коэффициент диффузии зависит от конкретной модели возмущений. В качестве границ для соответствующих случайных процессов естественно выбрать Ti =0 и Г2 =°°. [c.314] Очевидно, что rj = °° является отталкивающей границей (/ i(°°) Ф ), а Г1 = О может быть как отталкивающей (при o/aj I), так и притягивающей (если ао/а 1), причем в последнем случае она является недостижимой (Лз (0) ф ). При достаточно малой интенсивности возмущений (а о) обе границы являются отталкивающими, т.е. в данном случае пе происходит ни сверхроста, ни вырождения популяции, однако при больщих флуктуациях (aj Oio) численность N(t) может подходить к нулевой границе сколь угодно близко (хотя и не достигать ее за конечное время). Однако если задать некоторое пороговое значение N p 0, то популяция пересечет его за конечное время (пороговая модель вырождения). Оценку соответствующей вероятности можно получить следующим образом. [c.314] О вырождении, и то в пороговом смысле, здесь можно говорить, лишь если интенсивность флуктуаций достаточно велика. При этом оценка вероятности вырождения получается аналогичной случаю возмущения Oio и дается выражением (9.2). [c.316] Кроме классификации границ к качественным моделям изучения случайных процессов следует отнести исследование таких свойств, которые проявляются на всей области определения и характерны для процесса в целом на больших интервалах времени. К этим свойствам, в первую очередь относятся возвратность по отношению к той или иной области, наличие стационарного распределения и условия устойчивости равновесного решения соответствующего динамического уравнения. [c.317] Остановимся на свойстве возвратности. По определению, для возвратного относительно интервала регулярности (г , Г2) процесса Л (/) справедливо условиеР г (г,-,УУ] г) = 1, где г (г,-,ТУ] — момент выхода случайного процесса из множества Щ, а г, как и ранее, — момент выхода процесса из ( 1 Гг) Смысл этого условия заключается в том, что траектории Л (г) с вероятностью единица выходят через внутреннюю точку из любого интервала, содержащего границу. Таким образом, возвратный процесс всегда принадлежит интервалу регулярности и не выходит за границы, являющиеся в этом случае отталкивающими. Для популяций, опи-сьшаемых такими процессами, характерны пребывание большую часть времени в окрестности равновесных состояний, определяемых соответствующими динамическими уравнениями, и соответственно малые вероятности вырождения и вспышек численности. В формальном плане возвратность связана с неинтегрируемостью вспомогательной функции вб шзи границ процесса N 1). [c.317] Рассмотрим условия возвратности процесса, определяемого уравнением (10.1). Как уже указывалось, это явление имеет место для интервала регулярности процесса УУ(г) (а(УУ) Ф 0 УУ е (/ , Гг)) при отталкивающих границах. Таким образом, из классификации границ следует, что свойство возвратности характерно лишь для случайных процессов, порождаемых флуктуациями коэффициента конкуренции, а при флуктуациях а - лишь при а е, т.е. при достаточно низкой их интенсивности. Тогда логистические популяции, возмущаемые белым шумом, не вырождаются и не достигают больших размеров, однако значительные колебания численности в пределах значений (г, г ) вполне вероятны. [c.318] Константа с определяется из условия /ро Щ dN= 1. [c.318] В заключение отметим, что если обсуждаемые уравнения динамики популяций понимать в смысле Стратоновича, то картина приведенных результатов качественного анализа получается аналогичной, с той разницей, что в случае возмущений мальтузианского параметра границей перехода от притяжения к отталкиванию в нуле является условие al 2uo (а не о) и соответственно меняется условие существования стационарного распределения. Это означает, что если структура случайных возмущений удовлетворяет схеме Стратоновича, то условия на допустимую интенсивность (например, с точки зрения вырождения) являются более слабыми. [c.320] Вернуться к основной статье