ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Популяция в экстремальных условиях. И. Характер нулевой рницы н вырождение популяции из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " Как уже указывалось, рассмотрение случайного воздействия, связанного с белым шумом, являющимся математической идеализацией процессов с малым временем корреляции, позволяет применить методы анализа процессов диффузионного типа и прийти к качественным (а иногда и количественным) результатам, касающимся поведения моделируемого процесса. К таким результатам относятся в первую очередь получение и анализ функции плотности переходной вероятности p N, t) из уравнений Колмогорова, изучение стационарных распределений, не зависящих ot времени и начальных условий и устанавливающихся при t анализ условий устойчивости стационарных решений динамических уравнений. Кроме того, представляет значительный интерес изучение локальных свойств процесса N t), а именно поведение вблизи границ допустимой области изменения переменных, условия вырождения, поведение решений в окрестности стационарных точек. Следует отметить, что термин локальные свойства применен здесь условно, так как в стохастических системах поведение вблизи границы определяет и характер поведения процесса в целом. [c.303] Исследование процессов, флуктуации которых вызваны возмущениями с большим временем корреляции, является довольно сложной и во многом еще не решенной задачей. Для диффузионных процессов задачи существенно упрощаются, что связано с отсутствием последействия. Так, в частности, анализ функций плотности переходной вероятности (их удается получить иногда в явном виде) для таких процессов позволяет полностью представить динамику траекторий, а следовательно, указать наиболее и наименее вероятные значения, вычислить интересующие моменты (среднее, дисперсию и т.д.) и проанализировать ряд других особенностей. Даже если не удается получить в явном виде функцию плотности, с помощью вспомогательных приемов можно выявить особенности поведения процесса вблизи особых точек и границ. Эти особенности в некоторых случаях определяют динамику процесса и на достаточно больших интервалах времени. [c.303] Однако, применяя диффузионный подход, следует помнить о различных способах трактовки исходных уравнений и результатов,, а также о границах применимости данного метода. В этом смысле несколько отличаются подходы Ито и Стратоновича к возможным способам получения стохастических уравнений и их интерпретации. Остановимся кратко на этом вопросе. [c.303] Рещить уравнение (4.4) в общем виде, как правило, не удается, однако оператор L играет больщую роль в исследовании вопросов устойчивости, поиске стационарных распределений и т.п. [c.305] Под экстремальными условиями будем понимать воздействие неблагоприятных или сильно колеблющихся условий внешней среды на популяцию с малой численностью. Ясно, что это воздействие может вызывать значительные флуктуации рождаемости, смертности, а в силу малой численности приводить и к вырождению (обращению в нуль ее численности) популяции. [c.305] Будем понимать (5.1) в смысле Ито. Ясно, что поведение случайного процесса N(t) полностью определяется видом коэффициентов сноса F N) и диффузии a (7V). Существенную роль при этом играет поведение самих коэффициентов в окрестностях граничных и особых точек области изменения N. Для анализа различных возможностей, который могут здесь представиться, введем некоторые определения. [c.305] Отметим, что в случае достижимости притягивающей границы можно рассматривать различные варианты поведения диффузионного процесса после его попадания в точку г/. А именно, границу можно рассматривать как поглощающую (TV(i) = Г/, t т), отражающую (т.е. переводящую траектории процесса внутрь интервала с вероятностью 1) и эластичную , в которой поглощение и отражение происходит с отличной от нуля вероятностью. Можно рассматривать также пропускающие и задерживающие границы, смысл определения которых очевиден. [c.306] В общем случае не удается получить явной зависимости выр(Л ) однако в простейших случаях (например, линейных коэффициентов) можно получить наглядные результаты, которые будут обсуждены ниже. [c.308] Так как а (М) 0, то знак а определяет знак обобщенного прироста численности Р(М). [c.308] Для мальтузианской популяции а О, 7 = 1, а 3 зависит от модели случайных возмущений. [c.308] Вернуться к основной статье