ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Цепь с трофическими функциями общего вида. Динамика цепи длины два из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " Возникновение цикла в системе (3.1) при и = 4 наводит на мысль, что в результате аналогичной бифуркации цикла будут возникать и при п 4. Рассуждение будем вести по индукции. [c.251] Предположим также, что все корни простые — естественное следствие гипотезы грубости. [c.252] При е=0 из первого уравнения (5.1) получаем Мх=С- 2 Л -. [c.252] ш +1) О п-мерная система (5.2) имеет предельный цикл, возникший в результате изменения бифуркационного параметра С. [c.252] Корни Х°, г = 1,. .., и многочлена Л , так же как и корни X,-, / = 1,. .., и + 1, многочлена Л +1, зависят от параметра С кроме того, корни X,- зависят еще от е, так что X,- = Х,(е, (7). Естественным следствием гипотезы грубости является предположение, что все они простые. [c.254] По сути дела, мы доказали, что при С, близких к бифуркационному значению С и при достаточно малых е каждый из первых п корней многочлена Л +1 лижет вблизи от соответствующего корня. [c.255] Этим мы показали, что новый (п+ 1)-й корень, который уже не обязан находиться в окрестности одного из старых корней Х9(1 = 1,. .., и), при малых е лежит далеко влево от мнимой оси, а это означает, что он не будет разрушать устойчивость, существовавшую в старой (е = 0) системе. А поскольку он лежит на действительной оси, то не будет возникать и каких-то новых колебаний. [c.255] Доказательство. Пусть (с) - корень (С,Х), такой, что Х (С) =м°(С) + (С) и /и°(С )=0. Из леммы 1 следует, что существует Х (е, С) =ц(е, С) + iP(e, С), такое,, что Л +1 (е,С, , (е,С)) =0 для всех е е [О, i), С е (С - ti, С + еО и, кроме того, Х (О, С ) = W(С )=Х% С ). [c.256] Ранее мы доказали, что бифуркационный цикл возникает в системе (3.1) при и = 4. Следовательно, при определенных значениях Оо аналогичный цикл возникает при и = 5 и т.д. О свда можно сделать вывод, что в пространстве параметров (С, а, т) существует область I2 такая, что при С, а,-, ш,- I2 (г = 1,. .., и) система (3.1) при п 4 имеет периодические решения. [c.256] Отсюда видно, что для возникновения цикла, кроме о 1, нужно, чтобы 04 0 1, а Ш Шз. [c.257] Но так как Fo( i) = mi, и Vq( ) — монотонно возрастающая функция своего аргумента, то (6.4) всегда выполняется, если ОС2. [c.259] Переходя к анализу устойчивости этих точек, мы получим, что при ОС2 первые две точки являются седлами, и из внутрь положительного квадранта выходит сепаратриса. [c.259] Выше ( 2) бьша доказана ограниченность траекторий замкнутой трофической цепи. Поэтому, применяя теорему Дюлака— Бендиксона, мы получаем следующий результат. [c.260] Заметим, что при (Сг - С,) О обычным для системы (6.2) является рождение предельного цикла в результате бифуркации Андронова-Хопфа, так как с ростом параметра С фокус теряет устойчивость. Очевидно, что бифуркационное значение Скр есть корень уравнения R (С р) = О, и, как показано выше, хотя бы один такой корень всегда существует. [c.260] Для ответа на вопрос об устойчивости рождающихся циклов нужно вычислить первую ляиз ювскую величину. Процедура эта довольно стандартная, хотя и громоздкая, а получающееся в результате выражение совершенно необозримо. Поэтому прошу мне поверить, что соответствующие выкладки мной сделаны и показано, что ляпуновская величина может принимать разные знаки. Отсюда сразу следует, что в системе (6.2) возможен как мягкий, так и жесткий режим возбуждения автоколебаний. [c.260] Заметим еще, что если в результате бифуркации рождается неустойчивый предельный цикл, то он всегда будет окружен устойчивым циклом. [c.260] Вернуться к основной статье