ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об интегрируемости и периодических колебаниях в системе хищник - жертва из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " В дальнейшем для удобства тильду мы будем опускать. Ранее из линейного анализа (4.1) было показано, что тип равновесия определяется величиной у= К (1). Если у 1, то равновесие -неустойчивый узел (фокус), если у 1, то узел (фокус) становится устойчивым. При переходе через и = 1 происходит смена устойчивости по типу бифуркации Андронова-Хопфа, когда собственные значения пересекают мнимую ось. В случае обшего положения при зтом из равновесия рождается предельный цикл. Однако конкретные примеры трофической функции V (лг) могут приводить к иным результатам. [c.228] Выражение (4.3) представляет на плоскости х, у) замкнутые кривые, охватьшаюшие равновесие (1, I). Таким образом, при изменении параметра Ь и переходе его через 1/2 справа налево собственные значения системы (4.1) пересекают мнимую ось, а равновесие из неустойчивого фокуса превращается в устойчивый, проходя стадию чистого центра. Бифуркация Андронова-Хопфа не имеет место в этом случае, и предельных циклов из равновесия не возникает. [c.229] Нетрудно показать, что выражение (4.5) знакоопределено. Это означает, что в момент бифуркации периодический режим не возникает и из замкнутых траекторий центра. [c.229] У читателей, еше помнящих предыдущий параграф, возникает естественный вопрос почему же мы там получили циклы, хотя и была использована трофическая функция в форме Хилла V = = Ах 1 (К + х )7 Ответ прост дело в том, что в 3 мы пользовались методом Крылова—Боголюбова, а он асимптотический, и мы использовали не саму функцию, а ее асимптотическое разложение, тем самым шевеля ее. Ясно, что это шевеление и дало нам циклы. [c.230] Вернуться к основной статье