ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пространственная структура изолированной популяции Невыпуклый ареал из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " Но оказалось, что практически для любой f(N) ) никакое стационарное решение (1.1), отличное от N = onst (/(/V ) = 0), не может быть устойчивым. Этот результат сразу ставит крест на всех попытках получить диссипативные структуры (неоднородные по пространству стационарные решения) описанным выше способом. [c.166] Оказьшается, справедливо следующее утверждение если область G — вьтуклая, то решений указанного вида типа не существует,т.е. на выпуклом ареале изолированная популяция не образует диссипативной структуры. [c.166] Это свойство с очевидностью следует из представления Lip = = 2 С XiV /, откуда Н р) = 2 с Х,-. [c.167] Заметим, что функции, на которых достигаются sup Я, и являются соответствующими собственными функциями оператора /. [c.167] Вещественность собственных значений позволяет нам их упорядочить и выбрать Xi = max X,-. Если X, О, то отсюда следует неустойчивость решения N(x) (при условии, что X i — простое). Вооб-1це говоря, последнее не очевидно, но это можно легко показать, если доказать, что соответствующая X, собственная функция (д ) не меняет знак в G. Доказательство этого достаточно простое, если учесть, что и i i, и i i доставляют одно и то же значение функционалу Я( / ) (см. (2.6)). [c.167] Следовательно, единственный подозрительный случай, когда для всех г выражение H(Nj) = О и когда i = О — простое собственное число. Покажем, что если при этом предположить, что N(x) Ф Ф onst, т.е. не все Nl(x) равны нулю, то мы придем к противоречию. [c.169] Возникает естественный вопрос а возможно ли существование диссипативной структуры в изолированной популяции, когда ареал невыпуклый Рассматриваемый ниже пример позволяет утвердительно ответить на этот вопрос. [c.169] Начнем с области G. Будем строить ее в виде гантели (см. рис. 1Ъ,а) две ограниченные непересекающиеся связаные области Gi и G2 с гладкими границами соединены между собой перемычкой — областью Сд = х —I Х / . [c.169] Относительно Сз мы предполагаем, что для каждого в е [—/, /] (и—1)-мерная мера сечения перемычки Оз гиперплоскостью X, = 0 не превосходит некоторого числа а, которое мы определим ниже. [c.170] Перейдем теперь к выбору функции/(N), описьшающей локальную динамику популяции. Пусть/(N) = кц Ы), где q(0) =ц (УУ, ) = Ч Щ) 0 О Л [ N2 (см. рис. 736). Кроме того функция ц Ы) устроена, так, что ее отрицательная полуволна лежит над прямой — УУ, Д, а положительная — под этой прямой. [c.170] Для упрощения рассмотрим случай Q(a) = Q(b) = h, но это ограничение не принципиально. [c.171] Обозначим через [p(a)h ](j ) положительные полутраектории задачи (2.1), (2.2) с функцией vv(j ) в качестве начальной. Оказывается, что если vv(j ) обладает перечисленными выше свойствами, то эти свойства (все три одновременно) будут сохраняться и на полутраекториях. Докажем это. [c.171] Здесь (,) - скалярное произведение в R . [c.172] Отсюда, между прочим, видно, что полная производная по времени от /(и) обращается в нуль только на стационарных решениях задачи (2.1), (2.2). Поэтому если вьшолнено а) (что обеспечивает ограниченность снизу интеграла /(и)), то ш-предельное множество траекторий вида p(t)w будет состоять только из стационарных решений, заключенных между а кЬ. [c.172] Последнее неравенство вытекает из определения функции q(u) — см. (3.1). [c.172] Очевидно, что класс функций, обладающий свойствами а)—в), достаточно интересен и заслуживает отдельного обозначения (пусть это будет класс W). Что он не пуст, показывает следующее построение. [c.173] Очевидно, что она принадлежит классу Я (G) — обладает указанными выше свойствами а) —в). [c.173] Из инвариантности свойств а)-в) вдоль полутраекторий (при t 0) следует, что если начальная функция принадлежала классу W, то этому же классу будет принадлежать и стационарное решение, к которому всегда сходится решение исходной эадаад при - оо (в силу убьшания интеграла энергии). [c.173] Вернуться к основной статье