ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волновые автомодельные решения общего вида. II. Волны произвольной амплитуды из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " Предположим теперь, что волна распространилась далеко за пределы источника возмущений й. Будет ли он теперь оказывать на нее какое-либо существенное влияние Для ответа на этот вопрос мы должны установить характер решения и(х, ) в тех точках, которые волна только что миновала. Мы считаем, таким образом, что х т . [c.128] Таким образом, возмушение от источника ф(х), догоняющее волну в точках, достаточно удаленных от него, экспоненциально мало. Поэтому эти возмущения не деформируют волну, не разру-щают ее, и в этом смысле волну можно считать устойчивой по отнощению к постоянно действующим локальным возмущениям. [c.129] В 1 этой главы мы ввели понятие нерегулярной волны как автомодельной волны в среде с коэффициентом диффузии, зависящим от плотности популяции. В частности, перенаселение может приводить к скачкообразному увеличению коэффициента диффузии В. Пусть этот скачок происходит в точке Л = Л 1. Найдем условие согласования рещения в точке разрыва/)(Ж), предполагая, что N(x, I) является непрерывной функцией. [c.129] ФО М ), то автомодельная волна должна иметь излом в точке N=N1, как это изображено на рис. 60 (О 0 ). [c.129] Изображенная на рис. 61 зависимость v Ni) может быть весьма полезной для практического отыскания критического значения плотности Л 1, поскольку скорость распространения волны измерить гораздо легче, чем характеристики подвижности особей. [c.130] Граничные условия выбираются стандартно, как во всех волновых задачах. Численный счет с монотонным начальным распределением (см. рис. 62,а) дает решение, изображенное на рис. 62,6). Видно, что это никак не может быть движущейся волной. Однако из биологических соображений ясно, что популяция должна расселяться и распределение Л (лг, i) должно смещаться влево с ростом t. Это противоречие объясняется неединственностью решения (4.4), которое порождается некорректностью поставленной задачи. Для того чтобы задача стала корректной,нужно задать еще одно условие, вьшолнение которого, в свою очередь, определит скорость волны. [c.130] Пользуясь этой формулой, всегда можно численно найти скорость, с которой будет распространяться нерегулярная волна со скачком плотности. [c.133] что чем ближе пороговое значение плотности к максимальному, тем медленнее распространяется волна. С другой стороны, чем круче подходит Г Ы) к максимальному значению плотности, тем больше скорость волны. [c.133] Заканчивая этот параграф, можно сказать, что теории нерегулярных волн практически не существует, но уже по этим частным результатам видно, что здесь можно ожидать весьма интересных эффектов. [c.133] Здесь мы более подробно остановимся на математических вопросах, связанных с описанием периодических бегущих волн, волновых пакетов или волновых поездов . Ранее, в 8 гл. П в системах возобновимый ресурс — потребитель мы уже встречались с этим явлением. Естественно предположить, что периодически бегущие волны будут встречаться и в более сложных распределениях по пространству биологических сообществ. В своем изложении будем следовать известным работам И. Коппель и Л. Ховарда, но не дословно, сохраняя лишь их общую идею. [c.133] О — матрица размера и Хя с постоянными элементами которая считается симметрической и положительно определенной. [c.134] Задача о плоских автомодельных волнах может ставиться как задача о нахождении 2я-периодических решений (5.4) или периодических с некоторым периодом Т для (5.5). В этом параграфе будем рассматривать только волны малой амплитуды. [c.134] Здесь/ - единичная матрица. [c.135] Для того чтобы использовать бифуркационную теорему Андронова-Хопфа о рождении предельных циклов при. потере устойчивости фокуса, необходимо выяснить, существуют ли такие значения параметра 0, при которых уравнение (5.7) имеет пару чисто мнимых корней. Далее дпя простоты ограничимся случаем п=2. Но даже в этом случае уравнение (5.7) - это уравнение четвертого порядка, которое сложно исследовать. Поэтому используем следующий прием. [c.135] Покажем, что существует лишь одно значение у, при котором спектр матрицы М будет чисто мнимым. [c.135] Последше условия дают нам возможность для выбора константы к. Отсюда видно, что требование бифуркационной теоремы выполняются отнюдь не для любой матрицы коэффициентов диффузии - на их величины налагаются определенные ограничения. [c.136] Таким образом, мы получили необходимое и достаточное условие существования пары чисто мнимых собственных значений у матрицы Му для некоторого 7 0. Если же у известна (7 = = IplspD), то из уравнения второго порядка (5.8) находим j 2-По условию они чисто мнимые, и поэтому бифуркационное значение 0 = — 7/Х 0. Из приведенных выще рассуждений также следует, что если для некоторого 3 такая пара существует, то она единственна, так как 7 по X определяется однозначно. Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти собственные значения простые и что они трансверсально пересекают мнимую ось при изменении 0. [c.136] Эти результаты достаточно легко можно распространить и на случай п 2. Пусть матрицы М и D удовлетворяют следующим условиям. [c.136] Тогда задача (5.6) имеет однопараметрическое семейство решений типа плоских периодических волн. [c.136] Вернуться к основной статье