ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О форме волны в логистической популяции из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " Выше мы уже упоминали о том, что начальное распределение плотности типа ступеньки дает волну, распространяющуюся в конце концов со скоростью Vq = 2 /f 0)D, причем текущая скорость приближается к этой величине снизу. Полное и математически строгое доказательство этих утверждений содержится в классической работе А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискунова. Недавно вышла работа М. Брамсона, обобщающая эти результаты. Поскольку полное изложение этих работ выходит за рамки нашей книги, то мы приведем их здесь без доказательства. [c.24] Мы будем говорить, что начальное распределение и (х, 0) порождает волну, распространяющуюся со скоростью и, если при i п(х. t) - n (x) равномерно пох. [c.25] Это условие должно выполняться для любых х М. Очевидно, что и ступенька, и функция типа (5.46) удовлетворяют условию (7.5). Также очевидно, что любая финитная функция ему не удовлетворяет, но бесконечная сумма финитных функций i (x) с ограниченными снизу значениями интегралов ipj(x)dx и разделенными конечными отрезками с нулевой плотностью, ограниченными сверху общей длиной, будет удовлетворять условию (7,5). [c.25] Дело в том, что начальное распределение плотности, задаваемое финитной функцией, будет порождать две волны, распространяющиеся в разные стороны, а мы рассматриваем проблему сходимости к одной волне, распространяющейся справа налево. [c.26] Мы предполагаем, что предел всегда существует. [c.26] Заметим, что сформулированные выше условия сходимости решения (7.1) к волне являются необходимыми и достаточными. [c.26] Сравнивая (7.11) с (6.4), видим, что эти выражения совпадают, т.е. оценка скорости, полученная с помощью весьма нестрогих соображений, совпадает с оценкой, полученной математически строго. Из (7.11) следует, что скорость распространения приближается к своему асимптотическому значению Uo снизу весьма быстро (гиперболически). [c.27] Сейчас нам уже известны некоторые характеристики бегущей волны, однако о самой ее форме трудно что-либо сказать, не имея или точного решения уравнения (5,5), удовлетворяющего граничным условиям (5.7), или каких-либо приближенных решений. Единственное, что мы можем сказать, не решая уравнения (5.5), это оценить толщину фронта волны, да и то только для чисто логистической популяции с F N) =rN - NIK). [c.27] Отсюда видно, что при одинаковых радиусах индивидуальной активности волна в популяции с большей плодовитостью (большим г) распространяется с большей скоростью и имеет более крутой фронт. Любопытно, что в отличие от псевдоволны , чем более полога настоящая волна (больше И), тем меньше скорость ее распространения (при одинаковых/)). [c.27] Рассмотрим теперь ситуацию, когда плодовитость одинакова, ио различны радиусы индивидуальной активности. Из (8.2) следует, что волна в популяции с более подвижными особями распространяется быстрее и имеет более пологий фронт, чем в популяции с менее подвижными. [c.28] Построим теперь графики функции /(ТУ) при двух значениях 7 7 1 и 7 1 (см. рис. 9). Очевидно, что при 7 = 1 мы имеем чисто логистический закон роста. Видно, что при 7 1 /(ТУ). вогнута, а при 7 1 - выпукла. Следуя экологической традиции, мы будем называть популяцию, у которой /(ТУ) вогнута, популяцией с зависящей от плотности регуляцией, а популяцию с выпуклой /(ТУ) — соответственно с независящей от плотности регуляцией. (Хотя очевидно, что в последнем случае также имеется зависимость регуляции от плотности, но она начинает существенно проявляться при плотностях, близких к емкости К). [c.28] Из рис. 10 видно, что даже при больших значениях 7 величина е 1 (например, при 7 = 10 е = 0,42). Поэтому е можно считать естественным малым параметром задачи. Поскольку Л мало отличается от Ло, то, по-видимому, и найденное нами решение (8.8) будет мало отличаться от решения р°(п), соответствующего Ло-Оценим это различие, но сначала докажем, что р°(п) р(п) для п е (О, 1). [c.29] Так как о то отсюда следует, что р(п) р° (п) для п G (О, и ), что противоречит предыдушему утверждению. Следовательно, р(п) и р (и) не могут пересечься внутри отрезка [О, 1]. Аналогично доказывается, что не может существовать и нескольких точек пересечения. [c.30] что если для определения формы волны мы воспользуемся решением (8.8), а не р°(п), то отклонение таким образом найденной формы от истинной будет порядка е. Поэтому, чтобы проанализировать зависимость формы волны от типа внутрипо-пуляционной регуляции, мы будем пользоваться уже найденной нами простой зависимостью (8.8). [c.30] так же как и для чисто логистической популяции, чем меньше скорость, тем боЛее пологую форму имеет волна (при одной и той же подвижности особей — одинаковых D), что, впрочем, только лишь подтверждает сделанный нами ранее вьгоод. [c.31] Вернуться к основной статье