ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волна в логистической популяции (модель Колмогорова - Петровского - Пискунова) из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " Что касается зависимости функции смертности Z) от плотности iV, то практически для всех популяций D(N) - монотонно возрастающая функция, причем D(0) =m 0, m - естественная смертность, а возрастание смертности с ростом iV объясняется ростом конкуренции за ограниченный ресурс (пища, пространство и т.п.). [c.13] С функцией рождаемости В дело обстоит сложнее. Дпя многих видов она определяется лишь физиологическими пределами рождаемости и не зависит от N, так что В (N) = и = С(С — onst), гдё п — это так называемая естественная рождаемость (или плодовитость). Однако для многих видов животных, могущих мигрировать достаточно свободно и просторно заселяющих свой ареал, это предположение не совсем верно. Дело в том, что при ма хых плотностях размножение определяется, скорее,вероятностью встречи брачных партнеров, а не физиологической плодовитостью. Тогда зависимость В (ЛО будет иметь вид, изображенный на рис. 1. Популяции с таким типом зависимости В (N) обычно называются популяциями типа Олли. Для них физиологический предел рождаемости достигается только при определенной плотности. Величина рождаемости при малой плотности (ио) обычно очень низка, но все-таки отлична от нуля. [c.13] На рис. 2. изображен фазовый портрет обобщенной логистической популяции очевидно, что она имеет два состояния равновесия W, = О — неустойчивое и Л 2 — устойчивое. [c.14] В предыдущем параграфе мы встречались с популяциями типа Олли и описывали их феноменологически. Но очевидно, что такая форма зависимости рождаемости от плотности есть следствие кооперативных взаимодействий особей в популяции. [c.17] Отсюда видно, что при М К р К) О, а рг Щ 0. На рис. 6 на фазовой плоскости М,р мы изобразили поле направлений для (5.6) и поведение траекторий в окрестности особых точек. Поскольку при р О (1р1(1М О, то траектория Рг никогда не сможет пройти через точку Ы =р = 0. Поэтому Рз Щ можно не рассматривать. [c.20] Из рис. 6 видно, что траектория Рх не может пересечь ось IV, и следовательно, она вся лежит в положительном квадранте фазовой плоскости. Если теперь удастся доказать, что она не может пересечь ось р выше начала координат, то тем самым мы докажем, что она проходит через него. [c.20] Рассмотрим луч р=СМ (О 0) и покажем, что при подходящем выборе С ни одна траектория, начинающаяся в точке, лежащей на оси р и расположенной выше начала координат, не пересекает этот луч. Тем самым мы докажем, что ни одна такая траектория не может входить в точку (К, 0) по направлению 1. [c.20] Окончательно доказано,что для каждого v 2 /df (0) существует единственная траектория, выходящая из точки (О, 0) и входящая в точку (К, 0). Соответствующее ей решение N( = х + vt) удовлетворяет условиям (5.7) и описывает волну, распространяющуюся справа налево со скоростью и. [c.22] Мы получили непрерывный спектр возможных скоростей, ограниченный снизу величиной Vq =2 /DF (0). Возникает вопрос, какая из этих скоростей реализуется в действительности Но прежде, чем переходить к рассмотрению этого вопроса, мы остановимся на одном любопытном эффекте, связанном с возможными типами волновых решений исходной задачи. [c.22] Вернуться к основной статье