ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Математические основы проектирования геометрии сложной формы и принципы построения произвольных криволинейных систем координат из "Пространственные задачи вычислительной аэро-гидродинамики " При численном моделировании пространственных течений жидкости и газа около тел сложной формы возникает ряд вопросов, связанных с построением поверхности обтекаемого тела, криволинейных систем координат, дискретного множества. При создании адекватной математической модели, при построении системы координат удобно пользоваться аппаратом тензорного анализа, дифференциальной геометрии. [c.5] Общие свойства криволинейных систем координат, метрика и геометрические свойства рассматриваются в разд. 1. Некоторые свойства векторных и тензорных полей, деривационные формулы, дифференцирование тензорных величин, связь физических и тензорных величин обсуждаются в разд. 2—3. Общие свойства теории поверхностей рассматриваются в разд. 4. Различные способы построения поверхности обтекаемого тела — алгебраические, дифференциальные и методы теории конформных отображений — изучаются в разд. 5. [c.5] Для численного моделирования пространственных задач аэрогидродинамики удобными являются произвольные криволинейные системы координат, в частности такие, в которых геометрия поверхности является одной из координатных поверхностей (разд. 6). [c.5] Рассматриваются различные способы построения криволинейных систем координат, основанные на алгебраических, дифференциальных методах и методах теории конформных отображений (разд. 7). [c.5] Здесь у у , у — координаты точки радиуса К, векторы к — единичные векторы. [c.5] В дальнейшем будем рассматривать следующие системы координат 1) ( =1,2,3) — правая прямоугольная прямолинейная (декартова) система координат 2) ( =1, 2, 3) — криволинейная система координат, связанная с декартовой системой координат 3) ( =1, 2, 3) — произвольная криволинейная система координат, связанная с системой координат х (нужна для установления тензорных или инвариантных свойств рассматриваемого поля независимо от выбора системы координат). [c.6] Предположим, что любой совокупности у соответствует одна совокупность и обратно. Переменные х определяют точку в пространстве естественным образом, и система криволинейных координат ставит в соответствие каждой точке у г/ у ) упорядоченную тройку действительных чисел х х . Условие х у у )=соп81 определяет уравнение поверхности, а если придавать этой постоянной различные значения, то получаем семейство поверхностей. [c.6] Обычно говорят, что векторы Rl—Rз образуют ковариантный базис. [c.7] В этой и следующей главах по одинаковому индексу, если не оговорено противное, ведется суммирование. [c.7] Отметим, что суммирование ведется по двум верхним индексам. В дальнейшем будем применять правило суммирования относительно немого (повторяющегося) индекса, считая, что латинские индексы принимают значения 1—3. Если индексы обозначены греческими буквами, то они принимают значения 1,2. [c.7] Векторы Я образуют контравариантный базис. Величины — символы Кронекера (б/=1, если г=/ и б/=0, если 1 =1). [c.8] Иногда удобно выбрать векторный базис в одной координатной системе, в то время как независимые переменные задать в другой координатной системе. [c.9] Здесь и = и — составляющие вектора в декартовой системе координат. [c.9] В рассматриваемых задачах встречаются скалярные, векторные и тензорные величины. При переходе от одной системы координат к другой эти величины меняются. Рассмотрим, например, векторные функции. Представим их в виде разложения по базису декартовых координат. Если рассматривать векторную функцию в произвольной криволинейной системе координат, то удобно применять локальный базис и соответственно использовать разложение по локальному базису. Компоненты вектора при переходе к другой системе координат меняются. [c.9] Тензор второго ранга имеет три инварианта линейный, квадратичный и кубический. [c.10] Скалярные, векторные и тензорные функции, если не оговорено противное, предполагаются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз. В основу определения тензора можно положить соотношения, связывающие компоненты тензора в различных системах координат. При переходе от одной системы координат к другой компоненты тензора подвергаются линейному однородному преобразованию. Тип тензора определяется законом преобразования его компонент. Объект называется скалярным (тензор нулевого ранга, инвариант), если в системе координат л он определяется функцией 5(л х ), такой, что при переходе к другой произвольной системе координат связь между 8 х Х , х ) и 5(л х ) в каждой точке имеет вид 8 х х ,х ) = х , х ). Другими словами, скалярные величины не меняются при переходе от одной системы координат к другой. [c.10] Примером скалярных величин могут служить такие значения, как давление, плотность, температура. Эти величины, характери-зущие некоторое поле, не зависят от выбора систем координат и при переходе от одной системы координат к другой остаются локально (в точке) неизменными. [c.10] Если 5(л х ) — скалярное поле, то градиент скалярной величины д8/дх является ковариантным вектором поля. [c.10] Следует отметить, что законы преобразования контравариант-ных и ковариантных векторов в принципе различны, и только в прямоугольной прямолинейной системе координат это различие пропадает. [c.10] Физические компоненты, как будет показано дальше, связаны с кон-травариантными компонентами соотношениями вида и 1)= ци Главное преимущество использования контравариантных и ковариантных составляющих вектора заключается в относительной простоте соотношений, связывающих эти величины в различных системах координат. [c.11] Вернуться к основной статье