ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дискретные отображения. Отображение Пуанкаре из "Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах " Временная эволюция системы, описываемой вектором q (/), известна, если мы знаем q при любых t. Но, поскольку время непрерывно, нам необходимо для этого располагать бесконечным континуумом данных Сбор столь обильной информации для человека задача заведомо непосильная. Из создавшегося затруднения существует несколько выходов. Можно искать стационарные состояния, в которых вектор q не зависит от времени и может быть представлен конечным числом данных. Можно представить (точно или приближенно) вектор q в аналитически замкнутом виде, например q = qo sin (со/). [c.77] С помощью отображения Пуанкаре. В качестве примера рассмотрим траекторию на плоскости (рис. 1.17.1). Вместо того чтобы все время следить за траекторией, будем отмечать лишь точки ее пересечения с осью 1. Обозначим их (п) = Хп- Поскольку точка = Хп, д-2 = 0) при любом заданном п может служить начальным значением для полутраектории, пересекающейся с осью в точке Хп+ц мы заключаем, что Хп+1 однозначно определяется выбором Хп, т. е. [c.78] Хотя экспериментальные результаты (приведенные в разд. 1.2.1) качественно согласуются с теоретически предсказанным значением (1.17.4), не следует удивляться, если это согласие оказывается не слишком хорошим. Прежде всего число Фейгенбаума выведено при п- оо, тогда как экспериментальные данные получены при п = 2, 3, 4, 5. Кроме того, управляющий параметр, который описывает реальный мир и входит в (1.17.1), не обязательно пропорционален управляющему параметру а в (1.17.3), а может быть связан с а значительно более сложным соотношением. [c.82] МЫ вновь сталкиваемся с критическим замедлением и нарушением симметрии, применимостью принципа подчинения (для дискретных отображений) и т. д. Эти аналогии становятся еще более близкими, если рассматривать дискретные отображения с шумом (о которых пойдет речь далее). Уравнения (1.17.5) находят многочисленные приложения, которые до сих пор изучались лишь в отдельных частных случаях. Например, вектор состояния х может символизировать различные пространственные структуры. [c.84] В заключение выясним, как можно определить показатели Ляпунова для дискретного отображения. Будем действовать по аналогии с разд. 1.14.6, в котором мы ввели понятие показателей Ляпунова для дифференциальных уравнений. [c.84] В зависимости от направления бхц могут получаться различные X (при многомерных отображениях). [c.85] В качестве нетривиального примера на рис. 1.17.17 показан показатель Ляпунова логистического отображения (1.17.3) как функция от а. Положительные значения показателя соответствуют хаотическому движению, в то время как отрицательные значения указывают на регулярный (периодический) режим. [c.85] Вернуться к основной статье