ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные характеристики случайных фильтрационных полей из "Статистическая гидродинамика пористых сред " Вероятностная трактовка задач описания и исследования фильтрационных процессов неизбежно связана с использованием многих понятий и результатов теории вероятностей. Приводимая далее информация предназначена для того, чтобы напомнить о необходимых для дальнейшего изложения наиболее важных фактах этой теории. [c.16] Конечные семейства случайных величин (случайная величина, случайный вектор) могут рассматриваться как частный случай произвольных семейств случайных величин. Пусть рассматривается семейство случайных величин i где t принадлежит некоторому множеству индексов Г. Если Т содержит лишь одну точку, (tt) — случайная величина, а если множество Т конечно, С4 — конечномерный случайный вектор. Более сложный случай, когда Т — множество целых чисел, приводит к понятию бесконечномерного случайного вектора или, как говорят, случайного процесса с дискретным параметром — временем . И, наконец, если Т — интервал действительной оси, то семейство случайных величин называют случайным процессом с непрерывным параметром — временем . Иными словами, случайный процесс с непрерывным временем — это случайная функция, определенная на множестве Т. Результатом эксперимента для этой модели является некоторая обычная функция, заданная на множестве Т. Ее принято называть реализацией, или выборочной функцией. [c.17] Если случайная функция зависит более чем от одного аргумента, говорят о случайном поле в пространстве аргументов, каковым обычно в физических задачах являются время t и пространственные координаты X, у, г. [c.17] Случайное поле может описываться не одной, а несколькими случайными функциями, т. е. являться случайным векторным полем, как например скорость фильтрации. Очевидно, случайное поле может являться и тензором некоторого ранга. [c.17] Важный класс случайных полей — поля, характеристики которых инвариантны относительно преобразования сдвига и вращения. Стка-лярное поле С называется однородным (в узком смысле), т. е. [c.17] Очевидно, поля могут быть однородными по части независимых переменных. Например, поле может быть однородным по времени (стационарные поля), но неоднородным по пространственным переменным. Возможен и обратный случай — поле однородно по пространству, но нестационарно. Наконец, может иметь место случай однородности по части пространственных переменных. [c.18] Следует отметить, что использование плотности вероятности — не единственный способ полного описания случайных величин или функций. В последнее время при исследовании проблем турбулентности [21] и статистической радиофизики [13, 31] применяется метод описания, основанный на задании случайных объектов при помощи характеристических функций и характеристических функционалов, а также аппарата вариационного (функционального) дифференцирования. Примеры применения такого подхода будут приведены в главе 10. [c.18] Для полного описания случайных полей требуется задать все многомерные распределения на всевозможных множествах точек пространства и времени. Нахождение таких распределений в практических ситуациях сопряжено с большими трудностями, поскольку требует большого объема экспериментальной информации и высокой точности при ее обработке. Поэтому при решении конкретных задач часто ограничиваются изучением более простых вероятностных параметров случайных полей, например моментов. В общем случае моменты — функции координат. Во многих случаях достаточную информацию доставляют моменты первого и второго порядков, с которыми оперирует корреляционная теория случайных полей. [c.18] Корреляционная функция К ЛМ, М2) является положительно определенной, т. е. [c.19] В корреляционной матрице диагональные элементы — автокорреляционные функции, остальные элементы — функции взаимной корреляции. Нормируя элементы корреляционной матрицы, получим матрицу коэффициентов корреляции 1 [(Ми М2). [c.19] Очевидно, корреляционная функция изотропного поля — четная функция координат. [c.20] Теоретически статистические характеристики случайных процессов и полей следует определять, усредняя нужные величины по всем реализациям процесса или поля. Практически же обычно при построении характеристик усреднение проводится по времени или по одной протяженной реализации поля. Для законности такого усреднения необходимо выполнение так называемого условия эргодичности. Суть его для случайных функций времени состоит в том, что для надежного определения средних интервал усреднения должен быть много больше, чем время корреляции, определяемое по формуле (1.25), где под К следует понимать корреляционную функцию случайного процесса. [c.21] Если случайное поле однородно в пространстве трех измерений, то оно однородно и на любой плоскости или прямой. Поэтому усреднение по объему можно заменить в этом случае усреднением по площади или интервалу, принадлежащим соответствующим плоскостям или прямым при условии, что выполнены соответствующие условия эргодичности. [c.21] Здесь интеграл распространен по всему пространству волновых векторов X. [c.21] Для того чтобы К (г) являлась корреляционной функцией некоторого случайного поля (однородного), необходима неотрицательность соответствующей спектральной плотности. [c.22] Таким образом, функции (1.21), (1.22) действительно являются корреляционными функциями трехмерных изотропных полей. В то же время функция (1.23) является корреляционной лишь при определенном соотношении ее параметров. Т , в случае трехмерного поля для этого необходимо, чтобы К3а6 1. Для полей на плоскости нужно, чтобы а6 1. И лишь для одномерных полей ограничений на параметры а и 6 нет [21]. [c.24] Вероятностная трактовка неоднородных объектов как случайных полей естественно приводит к необходимости оценки соответствующих характеристик полей, например моментных функций. Специфика рассматриваемой проблемы состоит в том, что для такого анализа можно воспользоваться лишь одной реализацией случайного поля, как правило, дискретной. Однако практически реализуя в достаточной степени стандартные процедуры построения эмпирических характеристик случайных полей, следует учитывать некоторые особенности моделей (интегральной и локальной), введенных ранее. Прежде всего следует исходя из количества и качества информации о реальном объекте разумно ограничить количество вычисляемых характеристик. Обычно на практике приходится ограничиться определением среднего поля и автокорреляционной функции. Как правило, надежное определение более высоких разноточечных моментов по эмпирической информации исключено. [c.24] Наибольшие трудности представляет нахождение по экспериментальным данным среднего поля или, как его иногда называют, тренда, в этом случае при сглаживании единственной реализации, особенно если есть основания считать тренд непостоянным, операция сглаживания должна проводиться с учетом особенностей рассматриваемых статистических моделей. Так, в частности, при построении тренда интегральной модели масштаб скользящего усреднения должен выбираться с учетом величины радиуса освещенности. Естественно, что при этом области освещенности отдельных скважин могут как-то перекрываться внутри области сглаживания. [c.24] С учетом несовершенства вскрытия пласта, всегда имеет порядок, не превышающий сантиметра. [c.26] Вернуться к основной статье