ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поверхности, описанные околр сферы из "Курс начертательной геометрии " Для построения линии пересечения двух поверхностей вращения иногда удобно воспользоваться вспомогательными сферическими поверхностями. Аналогично тому как это делалось в случае вспомогательных плоскостей, мы должны провести вспомогательную сферу таким образом, чтобы каждую из поверхностей эта сфера пересекла по линиям, построение которых не представляет затруднений. Пересечение. этих линий определяет точки, принадлежащие искомой линии. [c.320] Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям. Возьмем две поверхности вращения, заданные своими направляющими / и 2, расположенными во фронтальной плоскости, в которой также находится их общая ось I (рис. 336). Пусть направляющие имеют общие точки А, В и т. д. В процессе вращения только эти точки будут образовывать линии, принадлежащие обеим поверхностям вращения. Любая же отдельная точка при вращении около оси / может описать только окружность. [c.320] Прежде чем приступить к решению задач, выясним, при каком расположении сферы и некоторой поверхности вращения построение линии пересечения этих двух поверхностей не представляет затруднений. [c.320] Таким образом, если мы имеем какие-нибудь две поверхности вращения, оси которых пересекаются, то любая сфера, имеющая центр в точке пересечения осей, пересекает обе поверхности по окружностям. [c.321] Метод сфер может применяться в довольно большом числе всевозможных случаев более общего расположения. Мы же ограничимся рассмотрением лишь простейших случаев 1). [c.321] Применяя метод сфер, следует проводить вспомогательные плоскости, если их проведение может облегчить построение. [c.321] Задача 117. Построить линию пересечения поверхностей двух конусов (рис. 338). Оси конусов пересекаются, при этом ось одного конуса расположена вертикально, а другого — перпендикулярно профильной плоскости. [c.321] Более подробное изложение метода сфер можно найти в учебниках И. А. П о п о и, Курс начертательной геометрии, Гостехиздат, 1947, 63, стр. 325—342 и Н, Ф. Ч е т в е р у-хин и др.. Курс начертательной геометрии, Гостехиздат, 1956, гл. X, 4, стр. 309—314. [c.321] Проведем фронтальную плоскость ср, которая рассечет оба конуса пополам и определит четыре точки, принадлежащие искомой линии пересечения. Их фронтальные проекции 1 , 2 , и 4-2) являются точками пересечения контурных линий, а горизонтальные проекции 1у, 3, и 4,) находятся на оси симметрии горизонтальной проекции обоих тел. [c.324] Проведем горизонтальную плоскость через ось второго конуса. Эта плоскость определит четыре точки, отмеченные цифрами 5 и б, отделяющие видимую часть кривой от невидимой на горизонтальной проекции. [c.324] Теперь перейдем к проведению вспомогательных сфер. [c.324] Первую сферу (наименьшую из всех возможных) проведем касающуюся первого конуса по некоторой окружности и пересекающую второй по паре окружностей. [c.324] Все эти окружности изображаются на фронтальной плоскости в виде отрезков. Эти отрезки, пересекаясь, определяют фронтальные проекции 7 и 5а — точек, принадлежащих искомой линии. [c.324] Диаметр второй сферы несколько больше, чем первой. Фронталь1Ш1е проекции окружностей, по которым она пересекает оба конуса, проведены штриховыми линиями. Мы получили еще четыре точки, отмеченные цифрами 9 и 10. [c.324] Найдите самую большую сферу, определяющую точки линии пересечения. [c.324] Резюме. Если оси двух поверхностей вращения пересекаются, то любая сфера, имеющая центр в точке пересечения осей, пересекает обе поверхности по окружностям. [c.324] Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае некоторую пространственную кривую, в отличие от тех плоских кривых, которые мы получали, пересекая какое-либо тело плоскостью. [c.324] В частном случае линия пересечения двух поверхностей может распадаться на плоские кривые, а именно если две поверхности второго порядка ( 42) описаны около некоторой третьей поверхности тоже второго порядка (или вписаны в нее), то они пересекаются между собой по плоским кривым (теорема Монжа )). [c.324] Мы рассмотрим несколько частных случаев, когда цилиндрические или конические поверхности описаны около некоторой сферы. [c.324] Задача 118. Построить линии пересечения поверхностей двух одинаковых цилиндров (рис. 340). Ось одного расположена вертикально, а другого — перпендикулярно профильной плоскости проекций. Это — част 1ый случай задачи 114 (рис. 332). Только в данном случае вместо двух ветвей пространственной кривой мы имеем два одинаковых эллипса. Большая ось эл ишса представлена отрезком а малая равна диаметру цилиндра. [c.325] Вернуться к основной статье