ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пересечение шара, тора и других поверхностей вращения плоскостью из "Курс начертательной геометрии " Поверхность конуса вращения из двух совершенно одинаковых полостей, имеющих общую вершину (рис. 275, в). Образующие одной полости являются продолжением образующих другой полости. Обычно мы имеем дело не с двумя бесконечно расширяющимися полостями конической поверхности, а с телом, ограниченным одной полостью этой поверхности и плоскостью. [c.254] Возможны следующие случаи сечения поверхности кругового конуса плоскостью. [c.254] Угол наклона р секущей плоскости по отношению к оси конуса будет больше угла а, который образующая конуса составляет с осью (р а). [c.255] Если расположить плоскость р перпендикулярно фронтальной плоскости, а данную прямую (образующую) параллельно ей, то угол между прямой н плоскостью будет р вен углу между их проекциями. Поэтому на рис. 275 углы а и р видны на фронтальной проекции. [c.255] Такое частное расположение секущей плоскости не нарушает общности рассуждений. В самом деле, как бы ни была расположена секущая плоскость ср по отношению к поверхности конуса, всегда можно повернуть конус и плоскость, не меняя их взаимного расположения, так, что плоскость ср будет перпендикулярна фронтальной плоскости. [c.256] Большая ось этого эллипса направлена по той линии ската секущей плоскости, которая пересекает ось конуса. [c.256] Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. [c.256] Вырождение эллипса. Будем плоскость, пересекающую поверхность конуса по эллипсу, перемещать параллельно самой себе, приближаясь все время к вершине. В сечении будут получаться подобные эллипсы все меньших и меньших размеров. Когда же плоскость пройдет через вершину, то эллипс выродится в точку. [c.256] Угол наклона р секущей плоскости по отношению к оси конуса равен углу а, который образующая конуса составляет с осью ( = а). [c.256] Плоскость ср параллельна образующей 5Л. Ось параболы параллельна этой образующей и направлена по той линии ската секущей плоскости, которая пересекает ось конуса. [c.256] Вырождение параболы. Случай, когда плоскость проходит через вершину и касается поверхности конуса по образующей (плоскость ср, рис. 275, б), можно рассматривать как случай вырождения параболы. Представим себе, что плоскость, пересекая поверхность конуса по параболе, будет перемещаться параллельно самой себе, приближаясь к той образующей, которой она параллельна. Следует отметить, что все эти параболы будут иметь ось, параллельную этой образующей. Чем более плоскость будет приближаться к этой образующей, тем теснее ветви параболы будут прилегать к своей оси. Когда же плоскость пройдет через вершину, в секущей плоскости останется только одна прямая, та образующая 5Л, которой параллельна плоскЬсть ср. [c.256] Угол наклона секущей плоскости по отношению к оси конуса меньше угла а, который образующая конуса составляет с осью (р а). Чтобы указать те две образующие, которым параллельна секущая плоскость ср, проведем через вершину конуса плоскость , параллельную плоскости ср. Плоскость пересечет поверхность конуса по образующим 5Л и которым параллельна плоскость ср. [c.256] Ось гиперболы направлена по той линии ската секущей плоскости, которая пересекает ось конуса. [c.256] В практике довольно часто встречается случай, когда секущая плоскость параллельна оси конуса. Такая плоскость также пересекает поверхность конуса по гиперболе, так как угол, который эта секущая плоскость образует с осью, равен нулю и он, конечно, меньше того угла, который с осью составляет образующая. [c.256] Примером такого сечения поверхности конуса могут служить дуги гиперболы на поверхности шестигранной гайки с фаской. [c.256] мы видим, что только в случае гиперболы секущая плоскость пере секает обе полости конуса. Поэтому можно утверждать, что любая плоскость, пересекающая обе полости конуса, обязательно пересечет его поверхность по гиперболе. [c.256] Примечание. В тех случаях, когда секущая плоскость пересекает основание конуса, иногда можно по ошибке принять часть эллипса за дугу параболы или гиперболы и наоборот (см. плоскость на рис. 275, а). Сравнение же углов аир позволяет в каждом таком случае легко и безошибочно отличить одну кривую от другой. [c.257] Задача 92. Построить гиперболу как сечение поверхности конуса горизонтально-проектируюш,ей плоскостью со (рис. 276). Плоскость ср параллельна оси конуса и образующим 5Л и ЗВ. Она пересекает его поверхность по гиперболе. [c.257] Нижние точки сечения. Две самые нижние точки 1 кривой лежат в горизонтальной плоскости проекций. Эти точки находятся в пересечении окружности основания с горизонтальной проекцией ср секущей плоскости. [c.258] Верхняя точка сечения (вершина гиперболы — точка 4). Любая горизонтальная плоскость пересекает конус по окружности. Если мы проведем горизонтальную плоскость достаточно близко к основанию конуса (плоскость ), то часть этой окружности будет отсечена плоскостью ср (окружность 2). Если же провести плоскость поближе к вершине, то окружность сохранится целиком. Наша задача состоит в том, чтобы определить такое положение горизонтальной плоскости, которое даст нам самую большую целую окружность (окружность 4). с)та плоскость определит положение вершины гиперболы (точка 4). [c.258] Вернуться к основной статье