ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры из "Теоретическая механика Том 2 " Проведем через центр тяжести О оси Ох и Оу, параллельные неподвижным осям, и обозначим через х, у координаты точки тела относительно этих осей, а через Л4й —момент инерции тела относительно оси Ог, перпендикулярной к плоскости х Оу. [c.94] Последнее можно получить так же, как в п. 359, применяя теорему кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести. [c.94] Примечание. У тела могут быть и другие связи, кроме тех, которые заставляют его перемещаться параллельно неподвижной плоскости хОу. Тогда реакции, развиваемые этими связями, будут входить в правые части некоторых из предыдущих уравнений и необходимо будет их исключить. Если, однако, эти связи не зависят от времени и осуществляются без трения, то реакции связей не войдут в уравнение кинетической энергии (5). [c.95] Если имеется несколько твердых тел, движущихся параллельно неподвижной плоскости, то можно применить к каждому из них предыдущие уравнения и исключить затем взаимные реакции тел или можно применить общие теоремы к совокупности этих тел. Из нижеследующих примеров будет видно, как можно решать такого рода задачи. [c.95] Пример I. Материальный стержень длины 11 (рис. 206) а массы М скользит без трения по горизонтальной плоскости. Элементы стержня притягиваются неподвижной осью Ох пропорционально массам и расстояниям. [c.95] Пример П. Движение однородного тяжелого круга, который катится без скольжения по прямой, оставаясь все время в вертикальной плоскости, проходящей через эту прямую. Примем за ось Ох заданную прямую, а перпендикуляр к ней, лежащий в вертикальной плоскости и направленный вверх, — за ось Оу (рис. 207). Обозначим через а угол, образуемый осью Ох с горизонтом. Система, состоящая из движущего диска, имеет полные связи. Ее положение зависит только от одного параметра, а именно от угла АСВ = 0, на который поворачивается диск, или от абсциссы О А = х его центра. [c.96] Следовательно, центр диска движется равноускоренно по прямой, параллельной оси X. При этом полученное выражение показывает, что ускорение всегда меньше, чем g и даже тогда, когда прямая вертикальна. Во всех предыдущих рассуждениях мы не предполагали, что диск однороден, а предполагали только, что его центр тяжести совпадает с центром фигуры. [c.97] Заменяя —его значением и замечая, что равно нулю, получим F =]-Mg s n а, N = Mg os а. [c.98] Следовательно, реакция постоянна. [c.98] Требуется найти движение двойного конуса в предположении, что он может катиться без скольжения по обеим прямым OD и OD. Примем плоскость фигуры за вертикальную плоскость, проведенную через биссектрису Ох угла DOD , и выберем ось ОС по вертикали вверх и ось 05 горизонтально. Обе прямые OD и OD, служащие направляющими для двойного конуса, проектируются на плоскость чертежа по оси Ох обе точки, в которых конус касается этих направляющих, проектируются в точку Т наконец, вершины обоих конусов проектируются на ту же плоскость в одну точку С, так как весь прибор симметричен относительно плоскости 50С. [c.98] Эта последняя формула позволяет преобразовать соотношение (4) в зависимость между S и t. Таким путем получится формула, определяющая движение центра тяжести С по прямой O S. [c.100] Эта скорость обращается в нуль в начальном положении при г = Гд и в конечном положении при г = 0. Следовательно, в этом промежутке она проходит через максимум, который легко вычислить. [c.100] В упражнении 10 можно будет найти указания для решения аналогичной задачи, в которой двойной конус будет заменен шаром. [c.100] Пример IV. Эллиптический маятник. Так называется система двух тяжелых точек М и Л4,, связанных между собой неизменяемым невесомым стержнем, из которых одна, Л4, движется без скольжения по горизонтальной прямой Ох, а другая, Aii, должна оставаться в вертикальной плоскости дгОу (рис. 209). [c.100] Примем за ось у какую-нибудь вертикаль, направленную вниз. [c.100] Силами, действующими на точку Л4, являются ее вес mg, нормальная реакция N оси Ох и натяжение Т стержня М.Щ на точку действуют натяжение — Г и вес mfg. Эти силы можно разделить на вну тренние силы Т и — 7 и внешние N, mg и m g ил л также на заданные силы mg, m g и на реакции связей N, Т, — Т. [c.100] Положение системы зависит только от двух параметров от абсциссы х точки Л1 и от угла 0 между ММ и вертикалью. Следовательно, для определения движения достаточно двух уравнений, не содержащих реакций связей. [c.101] Легко проверить, что сумма работ реакций связей равна нулю. Действительно, сила N остается нормальной к перемещению ее точки приложения, а сумма работ сил натяжений 7 и — Т равна нулю вследствие условия, что точки М и должны оставаться на неизменном расстоянии. [c.101] Вернуться к основной статье