ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Литературные указания из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Не стремясь к полноте библиографии, мы старались тем не менее выделить наиболее существенные работы. Отмечены также работы, определившие изложение основного текста книги. На подборе литературы не могли, конечно, не отразиться и личные вкусы автора. Большое число дополнительной литературы можно найти в подробной библиографии к книге Х.Баумгертеля и М.Волленберга [30], где, однако, многие статьи не аннотированы. Литературным указаниям по главам предпошлем краткий исторический обзор общего характера. [c.400] Начало построения теории рассеяния можно, по-видимому, связывать с работой К.Фридрихса [96]. В ней изучено возмущение оператора умножения интегральным оператором с гладким и малым ядром. Метод, разработанный Фридрихсом в связи с построением теории возмущений для этой модели, фактически оказался близким к стационарному подходу в теории рассеяния. Впрочем, понятий теории рассеяния в то время не было. [c.400] Нестационарное определение волновых операторов (ВО) на формальном уровне было дано К.Меллером [126]. Еще раньше, минуя ВО, оператор рассеяния вводился в работах Лж.Уилера 139] и В.Гейзенберга [101]. Стационарное представление для матрицы рассеяния появилось в физической литературе в работах Б.Липпмана и Дж.Швингера [125] и М.Геллмана и М.Гольдбергера [98. [c.400] Объединить подходы К.Фридрихса и А.Я.Повзнера удалось О.А.Ладыженской и Л.Д.Фаддееву [68] и Л.Д.Фаддееву [79. В [68, 79] установлены существование и полнота ВО в модели Фридрихса, но без условия малости возмущения. Аксиоматизация развитого в [73, 74, 68, 79] подхода привела к созданию унитарно-инвариантной теории гладких возмущений. В связи с гладким методом в теории рассеяния отметим в первую очередь работы Т.Като [109, 112. [c.401] Ядерный подход к теории возмущений непрерывного спектра возник в рамках абстрактной теории операторов. Первоначально он развивался независимо от гладких методов и от потребностей приложений. Теорема о существовании (и полноте) ВО при ядерном возмущении была получена в работах Т.Като и М.Розенблюма [106, 107, 136]. Разработка ядерного метода до уровня, на котором оказались возможны применения к теории дифференциальных операторов, осуществлялась в работах С. Куроды, М.Ш.Бирмана, самого Като и многих других. Прежде всего отметим работы М.Ш.Бирмана, где был найден принцип инвариантности [38, 39] и развита локальная техника [40]. Первым ядерную теорию к дифференциальным операторам—к оператору Шредингера—применял, по-видимому, С.Курода [118, 119]. Очень широкий класс дифференциальных операторов рассмотрен М.Ш.Бирманом в [41 на основе аппарата, разработанного им в [39, 40]. [c.402] Материал этой главы является стандартным. Наряду с литературой, указанной в основном тексте, отметим книги М.Данфорда и Дж.Шварца [9] и Ф.Рисса и Б.Секефальви-Надя 19], в которых можно найти много дополнительного материала.Сделаем также несколько конкретных примечаний. [c.402] В связи с классификацией спектра в 3 заметим, что возможно (и в некоторых вопросах естественно) дальнейшее разбиение абсолютно непрерывного спектра на компоненты. По этому поводу см. статью Дж.Аврона и Б.Саймона [88. [c.402] Построение самосопряженного оператора через его резольвенту (см. 10) часто применяется в том или ином контексте. В качестве одной из первых работ, где использовался этот прием, отметим заметку В.А.Явряна [81]. [c.402] Теория, возмущений унитарных операторов была развита М.Г.Крейном, но, по-видимому, не публиковалась. [c.403] В рамках абстрактной теории операторов основные понятия теории рассеяния были сформулированы в связи с исследованием возмущений ядерного типа. Вначале рассматривался случай Tio —7i,J /.Точное определение ВО было дано в статье 106] Т.Като, заметившим необходимость введения проектора на абсолютно непрерывное подпространство. Кроме того, в 106] изучены элементарные свойства ВО. [c.403] Абстрактное определение матрицы рассеяния предложено в работе М.Ш.Бирмана и М.Г.Крейна [43. [c.403] Условие существования ВО из 5 получено Лж.Куком [91], рассматривавшим ВО для оператора Шредингера. Предположения о потенциале уточнялись в [100, 105. [c.403] Принцип инвариантности (ПИ) обнаружен М.Ш.Бирманом 38, 39] в связи с признаками ядерного типа. В существенном его рассмотрения были стационарными. Сам термин, принцип инвариантности ввел Т.Като [108], который получил его нестационарное доказательство. В связи с расширением запаса допустимых функций укажем заметку А.Ю.Константинова [59. Отметим, что ПИ устанавливается и в условиях типа признака Кука—см. [90] и т.З курса [18. [c.403] Использованный в п.2 1 прием введения вспомогательного отождествления 7 называется иногда приемом Купша— Сандаса [116]. В вопросе о существовании ВО он позволяет срезать сингулярности возмущения. Материал 2 заимствован из заметки [83]. Изложение в 4 связи теорий рассеяния для уравнений первого и второго порядков по времени следует статье М.Ш.Бирмана [39]. [c.404] Теорема 5.1 об абсолютной форме ПИ для абелевых ВО принадлежит М.Волленбергу [130, 140, 141], но приведенное в 5 доказательство отличается от оригинального. В связи с этим подчеркнем, что в 5 теорема 5.1 выводилась из теоремы 5.2, не относящейся собственно к теории рассеяния. Теорема 5.2, по-видимому, ран е не публиковалась. Доказательство Волленберга можно найти в монографии [30. [c.404] Коммутаторные условия гладкости предлагались в статьях Т.Като [111] и Р.Лавина [122—124]. Приведенная в тексте теорема 4.1 установлена А.Ф.Вакуленко [55]. Несколько иной тип условий гладкости, также формулируемый в терминах коммутаторов, получен в работах Е.Мурра [127] и П.Перри, И.Сигала, Б.Саймона [132]. Этот тип особенно удобен в многочастичных задачах. [c.405] Вернуться к основной статье