ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дальнейшие сведения о функции спектрального сдвига из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Определение 1. Пусть (/ — 1/о Е и [1 - [ о 2. Тогда ветвь ФСС, удовлетворяющую условию (5.6) будем называть регулярной и обозначать через т]г и,ио). [c.362] Обсудим свойства регулярной ветви. Отметим прежде всего, что т г ио,ио) = О и в силу неравенства (5.16) функция т]г и,ио) сходится в Ь Т) к нулю при и — (/оЦх 0. Кроме того, для регулярной ветви справедливо неравенство (5.17), где к (к )—число собственных значений оператора [/[1 , лежащих на открытой верхней (нижней) полуокружности. Разумеется, неравенство (5.17) становится содержательным лишь, если одно из чисел к или Аг конечно. [c.362] Как и в самосопряженном случае (см. 2), из предложения 3 легко извлечь непрерывность rjr(U,Uo) по совокупности аргументов. Для избежания лишних оговорок мы, однако, считаем второй аргумент фиксированным. [c.364] Решение задачи 5 аналогично построению однозначной непрерывной скалярной функции f x). Предполагается, что / определена на метрическом пространстве X с точностью до целого числа и локально допускает выделение однозначной непрерывной ветви. Задачу о согласовании таких локальных ветвей естественно рассматривать отдельно на каждой связной компоненте Хо С X. На Хо может существовать не более одной ветви функции /, принимающей в какой-либо точке хо G Хо заданное значение. В остальных точках х Хо функцию / можно построить, например, с помощью непрерывного продолжения / вдоль кривых, соединяющих хо и х. Такая функция будет, вообще говоря, зависеть от выбора кривой. Однозначность / эквивалентна отсутствию в Хо замкнутых кривых, непрерывное продолжение вдоль которых приводит к не равному нулю приращению /. [c.364] Та же схема применяется при рассмотрении ФСС. Установим прежде всего единственность однозначной непрерывной ФСС на любом связном подмножестве С. [c.364] Наряду с множеством (i/i), мы рассматриваем его подмножество o Ui), состоящее из тех операторов U Е Ui), для которых и — и 2. Убедимся, что оба множества и о связны. [c.365] Лемма 7. Любой оператор U Е J , U ) (оператор U Е o U )) можно соединить с U непрерывной (в ) кривой Г = /(5) , О 5 принадлежащей множеству Ui) (множеству СоШ). [c.365] Таким образом, задача 5 может иметь лишь одно решение. Однако, как мы увидим в следующем пункте, в действительности задача 5 решения не имеет. В то же время на множестве 0( /1) аналогичная задача легко решается. [c.365] Лемма 9. Пусть (/1 — (7о Е 61, [/(0) = (/1, [/(1) = [/ и семейство и(5) — и непрерывно в 1 по з [0,1]. Тогда существует и притом единственная ФСС /( 17(5), [/о) непрерывно в 7 1(Т) зависящая от 8 Е [0,1] и принимающая заданное значение г и, [ о) при 5 = 0. [c.366] Отметим, что благодаря параметризации кривой в лемме 9 допускается наличие у Г точек пересечения. [c.366] Теперь зависящее от Г = и 8) значение ФСС можно определить равенством г/р(С/, С/о) = ((7(1), [/о)- Если Г С Со и ), то ФСС т] и,ио) задается формулой (3) и, следовательно, от Г не зависит. В общем случае такая зависимость есть. Именно, для семейства операторов (7(5), ((7(0) = 17(1) = [/1) ФСС 7/( (7(5), 17о), изменяясь непрерывно по 5, в точке 5=1 может по сравнению с 5 = О приобрести приращение, кратное целому числу. Приведем такой пример для случая [ о = [ х и одномерного возмущения. [c.366] Поскольку левая часть непрерывна по б Е [0,1] и равна нулю при 5 = О, в действительности равенство (4) является точным. Поэтому 17(1), (7о) = 1, тогда как 7(/2 [/(0), По) = 0. [c.367] При возрастании дуга (1, ехр(2тгг5)), где (//) = 1, заполняет все большую часть единичной окружности Т и при 5 = 1 получаем, что т] (// и(1), По) = 1 для всех // Е Т. [c.367] Пример 10 показывает, что задача 5 решения не имеет.Таким образом, в унитарном случае попытка глобального определения непрерывной по II ФСС г и, По) приводит к многозначной функции. [c.367] Напомним, что в силу тождества (6.4.8) это условие выполняется для всех регулярных точек одновременно. Согласно равенству (1.15) преобразования Кэли Uq и U операторов Hq и Н различаются на ядерный оператор. В п. 3 6.5 такая связь между операторами Яо, Я и Uq,U была использована для доказательства существования ВО в унитарном случае. Здесь, напротив, мы применяем результаты 5,6 для построения ФСС в самосопряженном случае. [c.367] Пусть преобразования Кэли Uo = Uo( l) vl U = U (a) операторов Hq и H определяются равенством (1.13). Поскольку [/ — f/o 6i, в силу результатов 5 существует ФСС rj(fi) = r] fi U,Uo), /i E T. Будем пока считать ее определенной с точностью до произвольной постоянной. [c.367] В условиях теоремы 1 функция д[р) удовлетворяет предположениям теоремы 5.6, если в (8) е = 1. Действительно, согласно (9) 5 (/х) будет ограниченной функцией и, следовательно, д G Ь2(Т). Тем самым для ряда Фурье (5.21) выполняется условие оо, а потому аттп оо. Это означает, что д (/л) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье. [c.369] При принятой сейчас нормировке сохраняется и связь ФСС с матрицей рассеяния. В самом деле, в силу принципа инвариантное ги (см. замечание 6.5.6) матрицы рассеяния 5 (Л Я, Яо) и S fi и, Uo) совпадают или, по крайней мере, унитарно эквивалентны. Поэтому их определители равны и, следовательно, соотношение (2.3) прямо вытекает из соотношений (4) и (5.23). В свою очередь, (2.3) вновь показывает, что по модулю целых чисел ФСС не зависит от параметров а и /ii. Сформулируем теперь полученные результаты. [c.371] Теорема 2, Пусть в условиях теоремы 1 ФСС г]а фиксиро-вана с точностью до целого числа. Тогда определенная равенством (4) ФСС по модулю целых чисел от а (и от fii) не зависит. При п.в. Л Е М для нее справедливо равенство (13), а при п.в. Л Е 0 0—равенство (2.3). [c.371] Вернуться к основной статье