ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функция спектрального сдвига в унитарном случае из "Математическая теория рассеяния Общая теория " В этом и следующем параграфах разработанная в 2-4 теория переносится на унитарные операторы. [c.352] При принятом всюду в этом параграфе условии V U — Uq 61 построение ФСС можно провести в существенном так же, как и в 2. Одно из отличий состоит в том, что в унитарном случае ФСС становится многозначной. В самом деле, соотношением (1), где g—произвольная функция из класса С (Т), ФСС Г) определяется с точностью до произвольного слагаемого. В самосопряженном случае такая неоднозначность устранялась либо условием G bi(M), либо требованием справедливости представления (2.4) для 1п1)я/Яо( )- Поскольку 1 G Ьх(Т), условие Г) G Li T) константы не определяет. [c.353] Из (4) следует, что ЦС/ — и — О при п оо. [c.354] О Заметим прежде всего, что в силу теоремы 1.2.11 из представления (2) с функцией Г) — rj Е bi(T) вытекает, что существует предел в правой части (8). Кроме того, согласно первой формуле обращения (1.2.15) и соотношению 7 (0) = 1 функция rj восстанавливается равенством (8). Само представление (2) с Tj = rj Е Li T) достаточно установить при С 1. Тогда, сравнивая равенства (1.2.14) и (3), найдем, что и при С 1 функция lnD(Q совпадает с интегралом в правой части (2). [c.355] Ввиду (11) это ряд сходится абсолютно в 1(Т) и, следовательно, для п.в. /X Е Т. Равенство (6) является следствием соответствующих равенств для каждой из функций в отдельности. [c.356] Отметим еще, что, как и в самосопряженном случае, в унитарном—справедливы дополнения к теореме 1, аналогичные замечаниям 2.2 и 2.4. [c.358] Лля ФСС Г] можно, конечно, выписать и аналог равенства (2.20). [c.358] Лемма 4. При U — Uo G 6i представление (1) для Tt U — Uq) справедливо при всех целых п. [c.359] Теорема 6. Пусть С/ — С/о 61 а функция д непрерывно дифференцируема и д ), а = 1, разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье. Гогда оператор д и) — д ио) ядерный, и для ФСС (8) ил1еет место формула следа (1). [c.359] Из (20) и (21) следует, что правая часть здесь стремится к нулю при п оо и, в частности, что д и) — р(С/о) 61. Ясно также, что дп ) 5 4/ ) при п — оо равномерно по // Е Т. [c.360] Теорема 7. При I/ — [ о Е справедливо равенство (23). [c.361] Вернуться к основной статье