ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Связь с матрицей рассеяния. Формула БирманаКрейна из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Более того, коль скоро Е(Х) — о(А) Е 61 для п.в. А и функция (2) принадлежит то /(Я) — /(Яо) Е 1 для любой / Е Со (Е) и имеет место формула (1). В действительности в теории ядерных возмущений оператор Е(Х) — о( ), как правило, не является ядерным. Причина этого—в негладкости характеристической функции (интервала (—оо,А)). Тем не менее соотношение (1) при некоторой функции оказывается выполненным. При этом ФСС можно построить через определитель возмущения / я/Яо( )- Свойства функции и объем класса допустимых функций / зависят от близости операторов Яо и Я. [c.336] Кроме того, (А) ( (А) —к ) при п.в. А Е М, если оператор V имеет лишь к положительных (к отрицательных) собственных чисел. В частности, (А) О (соответственно (А) 0 при V О (при V 0). [c.337] Согласно (14) этот ряд сходится абсолютно в 1, причем для функции (15) выполняется неравенство (6). Отсюда следует, что (15) сходится абсолютно и для п.в. А Е М. [c.339] Замечание 2. В условиях теоремы 1 для ФСС справедливо представление (15) в виде ряда, составленного из ФСС для одномерных возмущений. Этот ряд сходится абсолютно в х(М), а потому и абсолютно для п.в. А Е М. [c.340] Замечание 3. Из представления (4) ФСС находится однозначно. Этим, в частности, фиксируется постоянная, с точностью до которой ФСС определяется формулой следа (1), рассматриваемой на классе Со°(М). Равносильная нормировка получается вследствие требования Е / 1(М), которое выполняется автоматически, если определена равенством (5). [c.340] Предложение 5. При Н — Но Е и Н - Н Е 6] для п.в. [c.340] Обсудим теперь поведение ФСС как функции от А на дискретном спектре . [c.341] Правая часть здесь равна Тг [ о (( ь аг)) — JS (( 1, 2))] оправдывает эвристическую формулу (2) на дискретном спектре. В общем случае можно считать, что левая часть (19) дает правильную регуляризацию этого следа. [c.342] В этом параграфе формула следа (2.1) устанавливается при V 6 1. Функция спектрального сдвига определяется при этом равенством (2.5). [c.342] Поэтому проверка включения (1) является составным элементом доказательства формулы следа. [c.342] Отметим предварительно, что формула (2.1) тривиально выполняется при /(А) = 1, а равенство (2.7) можно рассматривать как формулу следа при /(А) = А. [c.342] Следующий класс функций, для которых проверяется (2.1), образуется экспонентами /(А) = ехр(—Ш), 1—вещественный параметр, когда /(Я) = и 1). [c.343] Подставим теперь в правую часть выражение (2) и учтем, что при условии 6 7 1(М) интегралы по А и // сходятся абсолютно. [c.343] Из леммы 2 вытекает, что формула следа (2.1) верна для линейных комбинаций экспонент ехр(—г А ). Теперь замыканием в подходящей метрике формулу (2.1) можно распространить на достаточно произвольные функции /. При этом нужно, конечно, позаботиться о выполнений включения (1). Для сходимости интеграла в правой части (2.1) при Е 1/1(М) естественно считать, что / Е оо(1 )- Известно, однако (см. [80]), что при Н — Но Е 1 последнее условие включения (1) еще не обеспечивает. Поэтому для доказательства (2.1) требуются большие ограничения на /. [c.344] Запас функций /, даваемый теоремой 3, достаточно велик. Во всяком случае он содержит класс Шварца 5(Ж) и тем более Со (М). Ясно также, что функция / удовлетворяет (6), коль скоро / принадлежит классу Соболева УУ2 (М) при 2а 1. Для таких / мера т в (6) абсолютно непрерывна и производная с1т1сИ квадратично интегрируема с весом (1-Н ) 1 а потому и суммируема. Тем самым локально (т.е. на любом ограниченном интервале) заведомо достаточно, чтобы функция / имела две ограниченные производные. [c.345] Убывания / на бесконечности условие (6) не требует. Так, представление (6) выполняется для любой периодической функции если ряд из ее коэффициентов Фурье абсолютно сходится. В частности, можно положить /(Л) = Л. Вообще на бесконечности допускается рост, не превосходящий линейного. Например, годятся функции /(А), равные при достаточно больших А произведению А 1ИА, где а 1, а 3—произвольно. Для такой функции мера т в (6) абсолютно непрерывна, а производная б т/б имеет при О особенность, которая оказывается интегрируемой. [c.345] Лемма 4. Пусть / задана на и для какого-либо ее продолжения на всю ось выполняется (2.1). Тогда формула следа (2.1) верна и для самой /. [c.347] Покажем, наконец, что формулу следа (2.1) достаточно проверять для функций /, заданных лишь на О. Мы ограничиваемся рассмотрением функций класса. Следующее утверждение в определенном смысле противоположно лемме 4. [c.347] Теорема 6. Пусть / задана на и допускает какое-либо продолжение на Ш до функции, удовлетворяющей условиям теоремы 3. Тогда при К G i имеет место формула следа (2.1). [c.348] Вернуться к основной статье