ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сечение рассеяния. Оценки сверху из "Математическая теория рассеяния Общая теория " В этом параграфе рассматриваются произвольные операторы, копирующие по своей структуре стационарное представление МР для случая Ло I. Это позволяет многие свойства МР изучить в максимально общей ситуации. [c.310] Равенство (3), конечно, требует, чтобы оператор В имел неотрицательную мнимую часть. [c.311] что представление (5.7.9), полученное в теореме 5.7.1 для МР 5(Л Я, Яо), имеет вид (1). При этом операторы Zo(A G) и Я ° (Л + гО) играют соответственно роль Z и В, а соотношение (5.7.7)—роль (3). Напомним, что существование обратного оператора в правой части (5.7.9) в теореме 5.7.1 предполагалось для п.в. Л. [c.311] Мы будем считать, что либо обратный оператор в (1) существует в обычном смысле, либо, при дополнительном предположении В G воо) этот обратный можно понимать в указанном в п. 3 1.6 обобщенном смысле. [c.311] Тогда операторы S Z,B,V) и 5 (Zi,B, V) унитарно эквивалент-ны между собой. [c.311] Дальнейшему исследованию оператора (1) мы предпошлем одно наблюдение технического характера. Необходимость в нем отпадает, если обратный оператор в (1) существует в обычном смысле. [c.311] Теорема 4. Пусть выполнены условия (2) и (3). Тогда оператор (1) унитарен. [c.312] Согласно (3) оператор в квадратных скобках равен нулю. [c.312] В силу теоремы 4 спектр оператора (1) лежит на единичной окружности Т. Покажем, что для малых операторов В оператор 5 мало отличается от единичного и, следовательно, его спектр попадает в малую окрестность точки 1 Т. Ввиду приложений к МР операторные нормы в пространстве () обозначаем через , а в других пространствах (или паре пространств)—через . [c.313] Дополнительную информацию о спектре оператора 5 можно получить для компактных операторов В. [c.313] Следующее утверждение прямо вытекает из теорем 5.7.1, 5.8.1 и предложения 6. [c.314] Теорема 7. Пусть на борелевском множестве Л выполнены условия теоремы 5.7.1 и — ОЯо г)С Е боо при 1тг ф 0. Тогда для п.в. Л Е Л МР 5(Л) = 5(Л ЯЯо) унитарна, 5(Л) — / Е оо спектр 5(Л) состоит из собственных значений, накапливающихся разве лить к точке 1. Отличные от 1 собственные значения конечнократны. [c.314] Через Мо обозначим множество тех А, где пределы В ° (А + г О) существуют. На этом множестве соотношение (9) прямо вытекает из предложения 5, примененного к оператору (11). [c.314] С помощью теоремы умножения для МР это утверждение распространяется на более общую ситуацию. [c.315] О Поясним, например, (13). Согласно предложению 1.3 величина под знаком предела в (13) оценивается через J px S X Н(у), Hi) — I r. Остается воспользоваться соотношением (10).. [c.315] Применим полученные оценки к ядерной теории. Отметим, что принятое для простоты формулировок условие (5.5.8) мало существеьшо. Поэтому следующее утверждение прямо вытекает из следствия 10. [c.315] Следствие 10. Пусть существуют ВО W H, Hq J), а для пары Яь Я = Н уУ, где У — G Gb выполнены условия теоремы 6.4.15. Тогда соотношение (13) при г = 1 справедливо для п.в. Е R. [c.315] Изложенные в пп. 3 и 4 сведения о МР можно рассматривать как обобщение результатов 4 на более абстрактную ситуацию. Используемая здесь методика также по существу та же, что и в 4. [c.316] Аналогично 4 в условиях этого пункта можно построить и разложение S ] H j), Но) в ряд по степеням 7, но мы не будем на этом останавливаться. Другие приведенные здесь результаты, наоборот, не обсуждались в 4, хотя они и верны в гладких предположениях. Так, соотношение (12) сохраняется, если существуют ВО W (Hi, Но] J) и оператор-функция GRhi(z)G непрерывна при Rez G А вплоть до разреза по А. [c.316] Здесь устанавливаются два родственных утверждения о спектре МР для относительно компактных знакоопределенных возмущений. Первое из них состоит в том, что для положительных (отрицательных) возмущений собственные значения МР могут накапливаться в точке 1 Е Т только снизу (сверху). Второе утверждает, что при внесении дополнительного положительного (отрицательного) возмущения спектр МР вращается по (против) часовой стрелке. [c.316] Вернуться к основной статье