ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Матрица рассеяния при гладких возмущениях из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Настоящий параграф носит вспомогательный характер. Он нужен для изучения в 4 и 6 матриц рассеяния. Здесь представления 2.7 и 2.8 для ВО и оператора рассеяния конкретизируются в применении к предположениям гладкого и ядерного методов. Одновременно проводятся сопоставления этих методов со стационарной схемой гл. 5. [c.292] Отсюда, в частности, вытекает, что в условиях гл. 4 справедливы формульные представления для ВО и оператора рассеяния. Так, определение 2.7.2 стационарного ВО теперь корректно на всех элементах fo Е Tio, f Е Ti. Следующее утверждение является прямым следствием теорем 5.2.4, 5.2.8 и 5.5.1. [c.293] Теорема 1. Пусть выполнены условия теоремы 4.5.1, /о 9о—произвольные элементы из Tio, f—произвольный элемент из TI, а X—какое-либо борелевское множество на М. Тогда для полуторалинейной формы (W fo,f) ВО W = W (H, Но, J) справедливо представление (2.7.5), для формы (W fo, W go) — представление 2.7Л1) , а для формы (E X)W-fo, W goJ — представления (2.8.2) и (2.8.6). [c.293] Поясним, что результаты гл. 5 дают выражения для стационарного ВО и = и Н, Но] J), который в условиях теоремы 4.5.1 совпадает с сильным нестационарным ВО W . Что касается нестационарных ВО, из результатов гл. 5 прямо вытекает существование только слабого ВО W H, Но] J). Действительно, в условиях теоремы 4.5.1 операторы Gq и G являются соответственно слабо Но- и Я-гладкими и, следовательно, можно сослаться на теорему 5.3.2. В то же время для Я-гладкого (по Като) оператора G условие (5.3.3), вообще говоря, не выполняется и, более того, произведение GR z)G не определено даже при Imz 0. Поэтому теорема 4.5.1 не следует из результатов 5.3 о существовании сильных нестационарных ВО. Впрочем, в случае Tio = Ti, J = I (и, общее, при условии (2.1.9)) теорема 4.5.1 вытекает из теоремы 5.3.5. [c.293] Аналогичные замечания справедливы и по отношению к локальной теореме 4.5.6. [c.293] Ео А)до при ограниченном А, а в правых частях (2.8.2), (2.8.6) операторы 3 и V заменены соответственно на Е А)3Ео А) и Е А)УЕо А). [c.296] Аналогичным образом при справедливости условий предложения 1 на каком-либо интервале А представления для МР, определяемой через локальные ВО, также будут выполняться при п.в. А 6 0 П А. [c.296] Далее будем, как и в 4.6, различать случаи малых (теорема 2) и относительно компактных (теорема 3) возмущений.В условиях этих утверждений существование и полнота локальных ВО W H, Но, А) установлены соответственно в теоремах 4.6.1 и 4.6.4. Вытекают результаты о волновых операторах и из теорем 5.7.1, 5.8.1, где получено также стационарное представление для МР. [c.297] Вводя в рассмотрение константу связи 7, т.е. заменяя V на jV, найдем, что при достаточно малых 7 условие (1) всегда будет выполняться. При этом (2) становится степенным рядом по параметру 7. Он представляет собой ряд теории возмущений для МР. В физической литературе такой ряд называется борновским. [c.297] Подчеркнем, что в условиях этой теоремы МР непрерывна на составляющих интервалах открытого множества А ЛГ. Однако при приближении к концам этих интервалов 5(А) предела может не иметь. В условиях теорем 2 и 3 непрерывность 5(А) по А можно ПОНИ7 ать в квалифицированном смысле—как гельдеровскую непрерывность с показателем а 0. [c.298] С помощью представления (5.7.6) можно получить разложение 5(А) в шкале 6р,р 0. [c.298] Вернуться к основной статье