ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Локальные признаки существования волновых операторов из "Математическая теория рассеяния Общая теория " При р оо VI фиксированных ,5 правая часть здесь стремится к нулю за счет сходимости первого интеграла (10). [c.248] При 1 = 1 эти оценки дают неравенства для (8(Я, Яо) — /)/ и (8 (Я,Яо)-7)/. [c.249] Отметим, что при условии (14) операторы Н и 71 71 должны коммутировать, т.е. [c.250] Наиболее важный частный случай теоремы 6 получается при Яо = Я1,7о 71 = /. [c.250] В условиях теоремы 6 (даже при 7о = 71 = I) сходимости ВО по норме, вообще говоря, нет (по этому поводу см. статью Путнама [133]). Из теоремы 6, конечно, сразу вытекает, что при условии (14) оператор рассеяния 8 (Я(б ), Яо 7) слабо непрерывен. В действительности он будет непрерывным и в сильном смысле. [c.250] Таким образом, равенство (20) эквивалентно соотношению s-HmР (Я( ), HuJ,) W H e), Я1, Л) - W. H e), HuJ,)) = 0. [c.251] Лемма 10. При Со Е 62 / Е 9Яо имеет место соотношение (21). [c.252] Описанию получаемых на этом пути условий существования и полноты (или J-полноты) ВО W H, Но] J) посвящены этот и следующий параграфж . В этом параграфе мы рассмотрим признаки, основанные на предположении локальной ядерности возмущения. Один из наиболее удобных технических приемов для обобщения результатов 2 состоит в переходе к новому отождествлению.Тем самым для получения общих признаков существования и полноты ВО даже в случае J = I нужно исходить из теоремы 2.3, относящейся к произвольным J. В качестве вспомогательного средства мы пользуемся также слабыми и локальными ВО, введенными в 2.2. [c.253] Простейшее и достаточно эффективное условие получается при наличии спектральной срезки лишь с одной стороны. [c.253] Лемма 2. Пусть условие (2) выполнено для любого ограни-ненного интервала Л. Тогда существуют слабые ВО 1У (Я, Яо J). [c.254] Вместо леммы 3.1 при доказательстве этого утверждения можно было бы воспользоваться и комбинацией леммы 5.3.1 со следствием 1.7. Отметим еще, что выполнение (2) для какого-либо одного интервала Л обеспечивает существование слабых локальных ВО W H, Но] J, А). [c.254] Одного условия (2) для доказательства существования сильных ВО W H, Но] J) не хватает. Обсудим поэтому необходимые дополнительные предположения. Следующий результат имеет предварительный характер. [c.254] Такие признаки обеспечивают существование и обратных ВО W Ho) Н] J ). Тем самым, ввиду теоремы 3.2.4, оба ВО W H, Но] J) (и W Hoi Н] J )) оказываются /-полными (соответственно 7 -полными). [c.255] Практически условие (5) удобно проверять с помощью следующего элементарного утверждения. [c.255] Объединим теперь леммы 3, 4 и учтем, что их условия симметричны относительно перемены ролей операторов Яо и Я. [c.256] Теорема 5. Пусть для любого ограниченного интервала Л С К выполнено условие (2), а также справедливо одно из включений (6) или (7). Тогда существуют ВО Ж (Я,Яо 7) (и ВО Но, Н] 3 )) и они 3-полны (соответственно 3 -полны). [c.256] Это означает, что соотношение (7) справедливо для всех функций = (Л — г) (Л + г)- , где А ,/—целые неотрицательные числа. Учтем еще, что согласно одному из вариантов теоремы Стоуна—Вейерштрасса (см. [19], т. 1) любая непрерывная стремящаяся к нулю функция может быть аппроксимирована в С(М) полиномами от (Л — + 0 Поэтому (6) будет выполняться для произвольной (р С (М). [c.256] Тогда оператор Н называется подчиненным (J-подчиненным) оператору Но- В этом случае оператор /(Я)// (Яо) ограничен. [c.257] Л емма 8. Пусть для любого ограниченного интервала Л С М существуют пределы (4), и оператор Я подчинен Яо. Тогда существуют ВО И (Я, Яо 7). [c.258] Вернуться к основной статье