ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Като-Розенблюма. Отрицательные результаты из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Наша цель здесь—найти связь операторов (9) с операторами Zo, отвечающими отображению Tq. [c.225] Точный смысл ему придается в рамках предположений типа теоремы 1. [c.225] Мы выяснили в 4.6, что в случае Но — Н, J — I в рамках гладких предположений все нужные для построения теории рассеяния свойства возмущения можно извлечь из надлежащих условий, формулируемых только по отношению к свободному гамильтониану. Сейчас тот же метод применяется в более широкой обстановке. Сначала мы приведем общее утверждение (теорема 1), дающее условия существования и полноты ВО и обеспечивающее справедливость стационарного представления для матрицы рассеяния.Теорема 1 объединяет гладкий и ядерный варианты, однако, как и остальные утверждения этой главы, полуэффективна. Из теоремы 1 прямо вытекает более конкретная теорема 2, непосредственно применимая (см. далее п. 4 6.4) в предположениях ядерного типа. [c.226] При дополнительном условии (5.8) эту теорему можно сформулировать короче. [c.228] Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 предположение (2) заменено следующим. Оператор-функция Bq z) имеет по норме угловые предельные значения при 2 — Л гО для п.в. X. Кроме того, Bq(z) Е р при каких-либо натуральных I up, и Bq z) имеет угловые предельные значения при z Л гО в 6р для п.в. X. Тогда сохраняются все заключения теоремы 1. [c.229] В предположении (5.8) эта теорема тоже формулируется короче. [c.229] Обсудим здесь кратко распространение результатов предыдущих параграфов на локальные ВО. [c.229] Изучение локальных ВО новых соображений не требует. Результаты о них легко получаются заменой М на Л во всех рассуждениях 1-7. При этом различные предположения также накладываются только на множестве Л (для п.в. Л G Л). [c.229] Лля локальных ВО это соотношение играет роль (2.7.16). Сохраняется и связь с нестационарными локальными ВО, определяемыми соотношениями (2.2.5) и (2.2.6). [c.230] Теорема 1. Пусть условия теоремы 7.1 выполняются на борелевском множестве Л. Тогда существуют и полны локальные ВО W H, Яо Л) и для матрицы рассеяния при п.в. Л Е ЛП(То справедливо представление (7.6). [c.230] При Хо = Л,Х = М оно совпадает с выражением левой части, получаемым при последовательном учете (см. п. 1) локальности. [c.231] В абстрактной теории рассеяния рассмотрение ядерных возмущений занимает центральное место. Это связано с унитарной инвариантностью формулируемых здесь условий существования и полноты ВО. [c.232] При построении теории рассеяния для ядерных возмущений мы параллельно пользуемся двумя подходами. Первый из них, стационарный, основан на проверке в 1 условий предыдущей главы. Тем самым ядерная теория рассеяния укладывается в общую стационарную схему гл. 5. Обсуждение исходного результата ядерной теории, теоремы Като—Розенблюма, составляет 2. Здесь же приводится обобщение этой теоремы на случай пары пространств. Второй подход, излагаемый в 3, дает прямое доказательство существования пределов в нестационарном определении ВО. Это доказательство сравнительно коротко, но его вряд ли можно назвать прозрачным. [c.232] Стационарный подход позволяет в рамках ядерных предположений оправдать формульные представления 2.7 и 2.8. Их подробное рассмотрение, а также изучение свойств матрицы рассеяния откладываются, однако, до гл. 7. [c.233] В этом параграфе мы установим, что для произвольного самосопряженного оператора Н и любого оператора Гильберта— Шмидта оператор-функция СЕ Х)С дифференцируема по ядерной норме для п.в. А Е М. Отсюда, конечно, следует, что в слабом смысле С является гладким относительно Я. Кроме того, как выясняется, в классе Гильберта—Шмидта произведение СД(Л 1е)С имеет предельные значения при б О для п.в. Л Е М. Тем самым ядерная теория рассеяния может быть уложена в стационарную схему предыдущей главы. [c.233] Лемма 2. Если А Е и для любого Т Е воо произведение АТ Е р (или ТА Е р), где р оо, то обязательно А Е р. [c.233] Остается учесть (см. опять [24]), что Е /р, если Е р для любой последовательности 0. [c.233] Приведем еще два элементарных утверждения о сходимости в классах 6р. [c.234] При доказательстве следующего утверждения полезно понятие о трансформаторе. Так называют операторы, сами действующие в пространствах операторов. [c.234] Очевидно, что последнее неравенство справедливо во все точках Л, где монотонно возрастающая функция TrGiE (A)Gi дифференцируема. В силу теоремы Лебега такие Л образуют множество полной меры. [c.236] Вернуться к основной статье