ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волновые операторы при гладких возмущениях из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Следствие 2. На любом ограниченном подмножестве Л оператор С является Я-гладким. [c.172] Отметим, что неравенство (1) достаточно проверять на каком-либо подмножестве пространства Р( Я ), плотном в этом пространстве по его метрике. [c.172] Это неравенство для коммутатора [Н,А] гарантирует сразу глобальную гладкость оператора Отказ от симметричности А позволяет получить условия локалм1 А гладкости. [c.172] Нужно иметь в виду, что приведенное определение не унитарно инвариантно, поскольку зависит от выбора отображения Т. Следующее утверждение объясняет введенный термин. [c.174] Лемма 6. Оператор, усиленно Н-гладкий на каком-либо отрезке А, является там гладким по Като. [c.174] В действительности, для усиленно Я-гладких операторов справедливо более сильное утверждение, также формулируемое в унитарно инвариантных терминах. Как принято в 1.9, полагаем (A)G = Gд. [c.174] Теорема 1. Пусть справедливо соотношение (1.9.3), где операторы Оо и О являются гладкими относительно операторов Но и Н соответственно. Тогда существуют оба ВО (Я,Яо 7). [c.176] Следствие 2. В условиях теоремы 1 существуют ВО W Ho, Н] J ). Кроме того, ВО W H, Hq J) будут J-полными (см. определение 3.2.3), а ВО W Ho, Н J )—J -полными. [c.177] В частности, при Tio = Л и J = I в условиях теоремы 1 ВО W (H, Но) и W Hq Н) полны в смысле определения 2.3.1, т.е. их образы совпадают с абсолютно непрерывными подпространствами операторов Н и Но соответственно. [c.177] В реальной обстановке ВО W H, Но) обычно не унитарны. Поэтому утверждение теоремы 1 является слишком сильным , а его условия редко выполняются. В связи с этим заметим еще, что при Ноф Хф в условиях теоремы 1 должно быть Н1ф = ХЗф. Такая инвариантность дискретного спектра, конечно, маловероятна. Поэтому практически условия теоремы 1 требуют, чтобы оба оператора Но и Н были абсолютно непрерывными. [c.178] Теорема 6. Пусть возмущение V НJ — JНо представимо в виде G Go, где операторы Go и G являются гладкими на некотором интервале А относительно операторов Но и Н соответственно. Пусть, кроме того, оператор G -Н-ограничен. Тогда существуют ВО W H Но] J, Л). [c.178] Понятие локальной гладкости полезно и для доказательства существования ВО в целом . Именно, из теоремы 6 вытекает Следствие 7. Предположим, что справедливо представление (1.9.3), где оператор Оо—Яо-ограничен, а С—Я-ограничен. Пусть Л —набор интервалов, объединение которых исчерпывает сердцевины спектров операторов Яо и Я (с точностью до множества нулевой лебеговой меры). Если на каждом из интервалов Л оператор Со—Яо-гладкий, а С—Я-гладкий, то существуют ВО И (Я, Яо /) и й (Яо, Я 7 ). [c.179] Подчеркнем, что в условиях следствия 7 операторы Но и Н могут иметь нетривиальные сингулярные спектры. В частности, собственные значения операторов Но и Н могут не совпадать. [c.180] Теорема 9. В условиях теоремы 1 для пары ко = (р Но), Н — 9 (Я) существуют ВО И (Л, Ло J) выполнено равенство (2.6.11). [c.181] Вернуться к основной статье