ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Стационарный подход. Формулы для волновых операторов из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Принцип инвариантности выполняется практически во всех конкретных признаках существования ВО, хотя приведенная только что его абсолютная формулировка неверна. [c.111] Коль скоро ПИ оказывается верным в условиях какого-либо признака существования ВО, для последнего автоматически расширяется сфера его применимости. Действительно, проверяя условия признака для пары Яо, Я, мы автоматически получаем существование ВО уже для другой пары ho,h. Что касается равенства инвариантности (1), то оно полезно для перенесения информации о ВО W на ВО w . В конкретных применениях обычно, напротив, ВО W изучается с помощью w при подходящей обратимой функции (р. Такой прием особенно удобен в теории ядерных возмущений (см. п. 2 6.5). [c.111] При обосновании ПИ относительно (р достаточно делать предположения на каком-либо открытом множестве полной Е-меры. За счет наличия в определении ВО абсолютно непрерывного проектора Р такое множество можно еще уменьшить. Предположим предварительно, что функция (р определена и принимает конечные значения на некотором множестве М полной Е-меры, т.е. [c.112] Например, условия (4), (5) выполнены, если множество М l счетно. [c.112] Найдем прежде всего условия инвариантности абсолютно непрерывного подпространства. Отметим предварительно, что при условиях (3), (4) оператор Я сингулярен, т.е. [c.112] Тем самым (Х) = О при Х = 0. Обратно, если (Х) = О, то р Х) = О при п.в. X Е X. По условию на (р отсюда следует, что Х = 0. [c.113] Укс1жем теперь класс функций, для которых обсуждается справедливость соотношения (1). По сравнению с условиями леммы 1 требуются лишь незначительные дополнительные предположения. [c.113] Строго говоря, пи называют утверждение о том, что существование локального ВО в правой части (12)+ или (12) обеспечивает существование ВО в его левой части и само это равенство. Это /тверждение верно лишь в конкретных предположениях. Тем не менее, как мы увидим в 3.5, всегда справедлива следующая ослабленная формулировка ПИ если волновые операторы в обеих частях (12) существуют, то они связаны равенством (12) . [c.114] Если для пары Яо, Н существует ВО W , то в силу сплетающего свойства справедливо соотношение (1.23). Аналогичное соотнопение для группы щ 1) = ехр(—гЛо оказывается полезным при проверке ПИ. [c.115] Согласно (7) при доказательстве (15) достаточно рассматривать каждый из составляющих интервалов п = 1,2. в отдельности. При этом часто применяется следующее элементарное техническое утверждение. [c.115] Ввиду ограниче иости Т такое равенство достаточно проверять на каком-либо плотном в / 2(Л) множестве. [c.116] Если операторы Яо,Я положительны, то применение ПИ чаще всего связано с использованием пар (Яо+ /) , (Я + 7) а О, и ехр(—Яо),ехр(-Я). [c.117] Доказательство (1) получается разложением обеих частей по какому-либо ортонормированному базису в 7 и применением скалярного равенства Парсеваля. [c.118] В отличие от (13) здесь символ а Х,е) X,e) имеет точный смысл и означает, что обе части для п.в. Л Е М имеют совпадающие конечные пределы при 0. [c.121] Воспользуемся теперь определением (5) при f = l go- Подставляя (14) в его правую часть, завершим проверку (П) . Подчеркнем, что мы опустили точную формулировку и обоснование соотношения (13). Его обоснование возможно (см. 5.2), но требует дополнительных предположений. [c.121] Таким образом, проверка существования сильного нестационарного ВО РУ (Я, Яо 7) разбилась на два этапа. Первый из них—доказательство существования слабых нестационарных ВО, что существенно проще такой задачи для сильных ВО. Второй, наиболее содержательный, этап—стационарное доказательство тождества (16). Поэтому и вся эта схема называется стационарной. [c.122] Продолжая рассмотрения предыдущего параграфа, мы получим здесь выргьжения для оператора и матрицы рассеяния в терминах предельных значений резольвент. Их точные доказательства см. в 5.5. [c.122] Здесь считаем, что z = X ie, а обозначение зависимости от 2 опущено, т.е. Rq = Ro X + ie), Rq = Ro X — ie) и аналогично для R. [c.123] При существовании ВО W H, Hq J) различные варианты равенства (2) при X = Е можно рассматривать как стационарные представления для полуторалинейной формы оператора рассеяния S = W W . [c.123] Вернуться к основной статье