ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оператор и матрица рассеяния. Элементарный приСуществование волновых операторов. Признак Кука из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Как пояснялось во Введении, теория рассеяния занимается исследованием асимптотики U t)f при t — оо (в терминах функции Uo t)fo) и проблемой унитарной эквивалентности операторов Яо и Я. В случае Tio — Ti, J = I обе эти задачи получают окончательное решение, если ВО W (H, Но) существуют и полны, т.е. их образы совпадают с абсолютно непрерывным пространством Ti оператора Я. При этом полнота W H, Но) эквивалентна существованию ВО W Ho, Н). При практической проверке обычно устанавливают существование обоих ВО W H,Ho) и Ж (Яо,Я). [c.101] Здесь мы обсудим соответствующие понятия и утверждения сразу для случая пары пространств. [c.101] Определение 1. Оператор W = W H, Но] J) называется полным, если справедливы равенства (1.15) и (2). [c.101] Если ВО У изометричен на и полон, то унитарная эквивалентность и Я реализуется им самим. [c.102] Теорема 3. Пусть ВО И (Я1, Яо Jo) и И (Я, Я1 Jl) существуют и полны. Тогда ВО Н, Но] JlJo) также существует и будет полным. [c.102] Соотношение (5), конечно, означает, что произведение ЗхЗ Яо-эквивалентно единичному оператору 1 (для знака ) в смысле определения 1.8. [c.102] Замечание . Пусть ВО W H, Hq J) существует и полон. Тогда согласно теореме б ВО W Hq, Н Ji) также существует и полон для любого отождествления 7i, удовлетворяющего (5). Оказывается, все такие отождествления Я-эквивалентны, а потому при различных Яо-асимптотически обратных к J отождествлениях Jl ВО И (Яо,Я 71) в действительности совпадают. [c.104] Следствие 8. Пусть J ограниченно обратим и ВО W H, Но J) существует. Тогда полнота W H, Но J) эквивалентна существованию обратного W (Ho, Н J ). [c.104] В приложениях наиболее важен случай одного пространства, когда J = Jl = I. [c.104] Следствие 9. Пусть Яо = Я, J = / и ВО W H, Но) существует. Тогда полнота W (H, Но) эквивалентна существованию ВО Ж (Яо,Я). [c.104] Рассмотрим теперь случай, когда можно положить Ji = 7. При этом условие (5) совпадает с (1.8). [c.104] Понятие полноты и все утверждения этого параграфа без изменения переносятся на абелевы ВО. Равным образом все введенные понятия и утверждения сохраняют смысл для ВО (в том числе и абелевых) вида (2.12) в унитарном случае. [c.106] О При изометрическом операторе W- равенство 8/ = / эквивалентно тому, что для любого д G R(W ). [c.106] В свою очередь, при изометрическом Wj последнее равенство выполняется в том и только том случае, если д G R Wj ). [c.106] С помощью локальных ВО (2.5) можно аналогично (1) определить оператор рассеяния S на подпространстве Е о (Л)Яо-При существовании ВО (1.1) такой локальный оператор рассеяния совпадает с сужением на Е А)7 о оператора (1). Существования ВО (2.5) достаточно для определения матрицы рассеяния 5(Л) при п.в. Л G ЛП о- По-прежнему изометричность на Eq A)Ho локальных ВО W H Но] J, А) и их полнота обеспечивают унитарность 5(Л). [c.107] Отсюда, в частности, следует, что оператор Н самосопряжен на1)(Я). [c.108] Матрица рассеяния 5(Л) не зависит от Л и также сводится к умножению на число (б). [c.109] Здесь равенство в левой части является следствием равенства Парсеваля, примененного к соотношению (1.4.2) с абсолютно непрерывной функцией Е )/ д). Для доказательства неравенства (3) нужно лишь применить оценку (1.3.9) и учесть представление (1.3.11). [c.110] Вернуться к основной статье