ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Различные модификации понятия волновые операторы (слабые, локальные, абелевы из "Математическая теория рассеяния Общая теория " КОЛЬ скоро соответствующий сильный предел существует. [c.89] Напомним, что всюду в книге любое соотношение, содержащее знаки , понимается как два независимых равенства. [c.89] Чтобы подчеркнуть, что в (1) рассматривается сильный предельный переход, такой ВО называют иногда сильным. При Ло — Ti, J I ВО (1) обозначается И (Я,Яо). Там, где это не вызывает недоразумений, обозначение зависимости ВО W H, Но] J) от Я, Яо и J может опускаться. [c.89] В силу леммы 1.4.1 при компактном J оба предела (1) заведомо существуют и равны нулю. Однако при произвольном ограниченном J ВО (1) существуют, конечно, далеко не для каждой пары самосопряженных операторов Но, Я. Например, в случае J = I наличие предела (1) автоматически накладьгоает на пару Яо, Я сильные ограничения. [c.89] что ядро М У ) ВО У всегда содержит сингулярное подпространство Яо, т.е. [c.90] Укажем теперь удобный достаточный признак справедливости (5). [c.90] Обозначим через Н и Я сужения Яо и Я на подпространства и т.е. [c.92] В силу теоремы 6 оператор Я абсолютно непрерывен, т.е. [c.93] Очевидно, что соотношение (21) равносильно тому, что при любом операторе Н ВО Н, Но Jl) и У/ [Н, Но J2) существуют одновременно и совпадают. [c.95] Приведем простой достаточный признак эквивалентности 3 и 32- Следующее утверждение прямо вытекает (ср. с доказательством предложения 3) из леммы 1.4.1. [c.95] В частности, если разность 3 — З2 компактна, то эти отождествления эквивалентны относительно любого самосопряженного оператора Яо. [c.95] Введение отождествления 3 может оказаться полезным и при рассмотрении ВО Ж (Я, Яо). Именно, иногда при удачно подобранном 3 существование ВО РУ (Я, Яо 3) удается проверить проще, чем существование Ж (Я, Яо). Если при этом оператор 3 оказывается Яо-эквивалентным единичному, то существует и ВО И (Я, Яо). Такой прием часто применяется при использовании признака Кука существования ВО (см. 5). В частности, он применяется в примере, рассматриваемом в 3.1. [c.95] Связь существования сильных (1.1) и слабых (1) ВО устанавливается в терминах вспомогательных ВО, определяемых только по Яо и 7. Эти ВО отвечают тройке Яо, Яо, 3 3. [c.96] О При изометрическом W правая часть (4) равна ([JV - I]Uo t)Pof, Uo i)Pof) + о(1), t оо. [c.97] Формально говоря, определения (5) и (6) сводятся соответственно к (1.1) и (1). Для этого надо перейти к новым отождествлениям = JEq A) (для сильных ВО) и J = E A)JЕо Ао) (для слабых ВО) т.е. [c.98] Нетрудно убедиться, что для ВО справедливы все утверждения 1. Если ВО существует, то при = выполнено и (9). Обратное заключение, разумеется, неверно. [c.99] Вообще, теории рассеяния для обычных и абелевых ВО строятся совершенно параллельно. Поэтому формулировки в абелевых терминах, как правило, опускаются. [c.100] Лля ВО (12) сохраняются результаты 1 о ВО в самосопряженном случае. Равным образом на ВО для пары унитарных операторов распространяются понятия слабых, локальных, абелевых ВО и т.п., а также сохраняются взаимоотношения между этими объектами. [c.100] Построение теории рассеяния для унитарных операторов в существенном аналогично самосопряженному случаю. По этой причине мы обычно не делаем специальных оговорок по поводу унитарного случая. [c.100] Вернуться к основной статье