ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формализм Лемана — Симанзика — Циммермана из "Метод возмущений в аксиоматической теории поля " В этой главе мы приведем перечень тех предположений, определений и теорем формализма ЛСЦ, которые нам понадобятся. Это позволит напомнить основные черты формализма и ввести необходимые обозначения и условия. Доказательства и подробные объяснения, вообще говоря, приводиться не будут. При изложении мы будем в основном следовать работе [181, исключив лишь ряд ошибок в знаках. [c.16] Рассмотрим теорию скалярного эрмитова поля А х), удовлетворяющего аксиомам Вайтмана в специальной форме для бесспиновых частиц массы т 0. Для формулировки этой теории будем исходить из следующих постулатов. [c.16] Постулат 1 (квантовая механика). Чистые состояния теории представляются векторами в гильбертовом пространстве с наблюдаемые и другие физические величины представляются линейными операторами в М. [c.16] Это условие никоим образом не ограничивает общности теории, поскольку ему можно всегда удовлетворить, добавив к А х) постоянное с-число. [c.18] В этих предположениях можно доказать следующие асимптотические условия. [c.18] Объекты, удовлетворяющие этим условиям, называются резкими запаздывающими произведениями. Всегда ли они существуют в теории Вайтмана, удовлетворяющей постулатам I—V, в настоящее время неизвестно. До сих пор в столь общих предположениях удалось доказать существование лишь гладких запаздывающих прсизведений. Последние отличаются от резких произведений тем, что их носитель лежит в е-окрестности Т . Кроме того, условие ковариантности (2.24) справедливо только для трансляций, а не для собственных преобразований Лоренца. Однако в теории возмущений резкие произведения существуют, так что не следует проявлять беспокойства по этому поводу. [c.21] Условия 1—7 не определяют произведения Я однозначно. Но это несущественно. Для дальнейшего пригоден любой набор операторовудовлетворяющих условиям 1 —7. [c.21] Здесь б-функция выражает закон сохранения энергии-импульса. Функция г определена только на многообразии = О, так что одна из переменных в ней выражается через остальные. [c.21] Предположим, что функция р непрерывна в окрестности начала координат. Последнее справедливо в теории возмущений. В общем случае было лишь доказано, что оно следует из постулатов I—IV, если произведение / обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точках, где либо две переменные qг, либо две переменные qг, либо одна из qг и одна из —q совпадают [20]. [c.22] Согласно предположению (2.29), этот интеграл существует как обобщенная функция переменных Р. [c.23] Центральным звеном нашего подхода в теории возмуш,е-ний является теорема Глазера — Лемана — Циммермана (ГЛЦ) [8, 181. В ней утверждается, что описанная выше теория поля полностью характеризуется своими запаздывающими функциями, и формулируются условия, при выполнении которых заданный набор запаздывающих функций определяет некую теорию поля. Мы приведем такой вариант этой теоремы, который специально приспособлен к потребностям теории возмущений. Предположения, которые формулируются ниже, сильнее, чем необходимо, но они выполняются в теории возмущений и обладают тем преимуществом, что позволяют значительно упростить формулировку теоремы ГЛЦ. [c.24] Прежде чем сформулировать эту теорему, мы введем некоторые новые понятия и обозначения. [c.24] ДЛЯ произвольного конечного Ло и всех положительных целых степеней N ). [c.25] Носитель функции г (X) содержится в области Тп, определенной условием (2.23). [c.26] Условие В в этой теореме гарантирует существование интегралов, входящих в условие полноты (2.36). Условие Г помимо всего содержит предположение, что сумма в формуле (2.36) сходится. Точнее, предполагается, что сумма по I сходится по отдельности для каждого разбиения ( , Р). [c.26] Двоеточие в формуле (2.44) обозначает виково (нормальное) произведение. [c.27] Доказательство этого варианта теоремы ГЛЦ можно без труда получить из доказательства более общего варианта этой теоремы, приведенного в работе [181. Сильная форма предположения В, которой мы воспользовались, избавляет от необходимости при формулировке теоремы вводить обобщенные запаздывающие функции, хотя они все же удобны при ее доказательстве. Можно доказать, что при сделанных предположениях эти функции существуют и обладают надлежащими свойствами. [c.27] Поскольку комбинаторная часть доказательства теоремы изложена довольно кратко и в работе [181, и в оригинальной работе [8], мы изложим здесь еще раз главный раздел доказательства докажем, что запаздывающие операторы вида (2.45) удовлетворяют тождествам (2.22). Это доказательство может также служить моделью аналогичных выкладок, которые потребуются нам ниже, но не будут приводиться явно. [c.27] Обобщение на произвольный случай проводится непосредственно. [c.27] Вернуться к основной статье