ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предисловие к русскому изданию из "Метод возмущений в аксиоматической теории поля " Однако это не значит, разумеется, что здесь не осталось нерешенных задач. Не касаясь попыток выхода за рамки теории возмущений, даже и в этой теории первоначальный подход Боголюбова опирался на такие нефизические понятия, как голые невзаимодействующие поля и т. п., а с другой стороны, сталкивался с серьезнейшими трудностями при попытках сформулировать уравнения движения для взаимодействующих гейзенберговых операторов. [c.5] Центральную роль в этой книге играют уравнения Глазера — Лемана — Циммермана для запаздывающих функций. Сама по себе идея формулировки теории квантованных полей в терминах полной системы функций Грина высказывалась не раз. Нам кажется, что наиболее последовательный способ перехода к такой формулировке состоит во введении производящего функционала для запаздывающих или других, Г-упорядоченных, функций Грина. Здесь мы опять возвращаемся к теории 5-матрицы с условием причинности, потому что именно такая 5-матрица, в которую введена зависимость от вспомогательной классической функции, оказывается благодаря условию причинности производящим функционалом для функций Грина. При этом, если в качестве вспомогательной функции выбирается внешний ток-источник, то получается аксиоматическая формулировка, очень близкая к формулировке Лемана — Симан-зика — Циммермана, которая является исходной во всех построениях Штейнмана. [c.6] Заметим, что, работая с функциями Грина и с асимптотическими полями, мы можем избежать нефизических понятий голых частиц и состояний. В этом подходе можно попытаться формулировать и уравнения движения. Частные успехи в близком направлении получены в работах Циммермана и его сотрудников [4], упоминаемых в книге Штейнмана. [c.7] Хотелось бы специально отметить роль условия причинности Боголюбова во всем этом направлении. В упомянутых выше работах Боголюбова и его школы как по теории возмущений, так и по дисперсионному подходу центральная роль этого условия всегда подчеркивается. Штейнман явно им не пользуется, заменяя его на уровне аксиом требованием локальной коммутативности (исчезновение коммутатора вне конуса), которое следует из условия причинности, но его не исчерпывает. Однако дальше он дополняет это условие естественными требованиями на носитель запаздывающих функций. Можно считать, что условие причинности есть просто операторная запись этих требований на носитель, и если оно отсутствует, то легко построить примеры таких запаздывающих функций, которые, не нарушая требования локальной коммутативности, имеют совсем другой носитель. [c.7] Ввиду того что в квантовой теории поля по-прежнему отсутствуют нетривиальные точные модели, приближенные схемы приобретают интерес, выходящий за пределы их возможной пользы для численных расчетов. Подробное изучение таких схем может привести к открытию каких-то черт, справедливых и в точной теории, и дать нам в руки ключи для поисков таких точных моделей. [c.9] Более того, для целого класса теорий это заведомо не так.— Прим. перев. [c.9] По традиции теорию возмущений развивают в рамках канонической теории поля, которая возникла как простое обобщение правил нерелятивистской квантовой механики на системы с бесконечным числом степеней свободы ). В ней постулируются гамильтониан или лагранжиан как определенная функция полей, и соответствующие уравнения движения решаются путем разложения всех входящих в них величин в степенные ряды по константе связи. К сожалению, многие коэффициенты разложения оказываются расходящимися. Их можно сделать конечными с помощью так называемой процедуры перенормировки ценой включения в уравнения движения и гамильтониан компенсирующих членов с бесконечными коэффициентами. Короче говоря, исходные уравнения не имеют решений, а уравнения, имеющие решения, на первый взгляд кажутся бессмысленными. Обычный метод придания им хоть какого-то смысла состоит в том, что бесконечные коэффициенты определяют как пределы конечных величин, предварительно вводя то или иное обрезание, устраняемое на заключительном этапе. В последние годы Брандт, Вильсон и Циммерман (см. [3, 4] и цитированные там оригинальные работы) разработали более сложный метод, предложенный впервые Вала-тином [2]. Авторы этого метода подчеркивают, что расходимости в уравнениях движения обусловлены наличием пресловутых неопределенностей в произведениях полей в одной точке, и предлагают определить эти произведения как пределы произведений операторов в различных точках. Оба метода имеют тот недостаток, что они лишают канонический формализм его простоты и интуитивной привлекательности. [c.10] Эта точка зрения близка к той точке зрения, которой мы будем придерживаться в данной книге. Мы совсем отказываемся от рассмотрения лагранжиана и канонических перестановочных соотношений для взаимодействующих полей и будем исследовать задачу в рамках аксиоматической теории поля. [c.11] Симанзик и Циммерман уже в первой своей работе 16], в которой было сформулировано то, что затем стало называться формализмом ЛСЦ, отметили, что их подход к теории поля открывает новые возможности введения динамики и, в частности, получения рядов теории возмущений ). Они показали, что теорию поля можно полностью характеризовать ее функциями Грина (хронологическими функциями), т. е. набором обобщенных функций т Х1, Хп), п -= 2,3,. . ., удовлетворяющих определенным условиям и, в частности, бесконечному набору квадратичных интегральных уравнений. Они предположили, что всякая конкретная модель может быть описана зада нием определенных граничных условий для т-функций, и показали, как эта идея может быть реализована в низших порядках теории возмущений. Позднее они показали, что вместо т-функций можно использовать запаздывающие функции г (Х),. . Хп) [7, 8]. [c.11] Эти идеи получили дальнейшее развитие 19—11]. Было показано, что на этом пути можно обойти ультрафиолетовые расходимости, причем вместо этого возникает неоднозначность решений соответствующих уравнений. Однако не было показано, что ультрафиолетовые трудности не заменяются просто другими проблемами равной сложности. Проблемы существования решений, не связанные с вопросом об ультрафиолетовых расходимостях, полностью игнорировались. Другими словами, формализм был создан, но не было доказано, что он может работать. [c.11] Другой подход к аксиоматической теории поля развили Боголюбов и его сотрудники [35 ]. Подробное изложение различных методов построения аксиоматической теории поля можно иайти в книге Боголюбова, Логунова и Тодорова [36 ].— Поим, перев. [c.11] Здесь мы намерены дать такое доказательство, основанное на идеях, предварительный вариант которых был изложен в двух более ранних работах автора 112]. Будет развит аппарат теории возмущений, который позволит вычислять запаздывающие функции г в любом порядке по константе связи путем решения методом последовательных приближений уравнений условия унитарности с определенными граничными условиями. Будет строго доказано, что этот формализм приводит к конечным результатам во всех конечных порядках теории возмущений. Однако о важнейшем вопросе сходимости рядов теории возмущений мы не получим никаких сведений. Таким образом, всюду в дальнейшем любое утверждение типа Л справедливо в теории возмущений следует понимать Л справедливо в любом конечном порядке теории возмущений . [c.12] Мы будем рассматривать только простейший случай одного скалярного эрмитова поля А х), ассоциируемого с бесспиновыми частицами массы т 0. Обобщение на случай любого числа полей с произвольным спином можно осуществить непосредственно. (Правда, мои друзья, занимающиеся феноменологией, сообщили мне, что это далеко не тривиально.) Более серьезно ограничение массивными частицами. Формализм ЛСЦ в его существующей форме неприменим к безмассовым частицам, и не очевидно, как его можно обобщить. Отсюда вытекает печальное следствие квантовая электродинамика — теория, в которой метод возмущений привел к наибольшим успехам,— не может быть рассмотрена в нашем формализме. [c.12] По этим проблемам следует также рекомендовать книгу [36 ].— Прим. перев. [c.12] Наконец, следует заметить, что аналогичный формализм можно развить, используя вместо запаздываюш,их хронологические произведения [9, 17]. Некоторые стороны нашего формализма можно упростить, если шире пользоваться обобщенными запаздывающими произведениями 116], Однако обычные запаздывающие функции более непосредственно связаны с физическим содержанием теории, поскольку они служат коэффициентами в разложении Хаага для взаимодействующего поля (гл. 2). По этой причине мы предпочитаем основывать наш формализм только на таких функциях и прибегать к обобщенным произведениям только в качестве вспомогательных величин в некоторых доказательствах. [c.14] Вернуться к основной статье