ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об аналогии между акустическими и электромагнитными краевыми задачами из "Волновые задачи гидроакустики " В большинстве книг и статей по волновым процессам рассматриваются не акустические, а электромагнитные задачи. Следовательно, надо уметь применить результаты решения электромагнитных задач к акустическим проблемам. [c.11] Методы математического описания акустических и электромагнитных волн весьма сходны. Поэтому многие (хотя далеко и не все) результаты, полученные для электромагнитных явлений, остаются справедливыми и для звуковых волн. [c.11] Звуковые волны описываются скалярным уравнением Гельмгольца, а электромагнитные волны — векторными уравнениями Максвелла. Однако, несмотря на это, многие законы для звуковых и электромагнитных волн оказываются общими [147]. [c.11] Промежуточный случай для электромагнитных волн, когда векторы и Я не параллельны границам раздела, распадается на два рассмотренных случая. [c.12] В трехмерном случае за редким исключением векторные уравнения Максвелла не сводятся к скалярным, и найти решения для электромагнитных волн, которые бы соответствовали и звуковым волнам, невозможно. [c.13] Однако несоответствие между решениями акустических и электромагнитных задач постепенно уменьшается при увеличении волнового размера тела. Ниже будет показано, что в приближении Кирхгофа для акустически жестких и акустически мягких тел, размеры которых велики по сравнению с длиной звуковой волны, решения практически совпадают. Точно так же и в векторном случае в приближении Кирхгофа для любой поляризации решения будут одинаковыми и аналогичными скалярному случаю. Поэтому все результаты, полученные в теории излучения электромагнитных антенн для больших волновых размеров антенн, а также в тоерии дифракции на больших поверхностях, остаются справедливыми и в акустическом случае. [c.13] Интегральное представление звуковых полей. Как уже указывалось в 1, при расчете звуковых полей, излучаемых колеблющимися поверхностями, возникает необходимость вычисления потенциала поля Ф в некоторой области пространства по значению потенциала и его нормальной производной (т. е. по значению звукового давления и колебательной скорости) на заданной поверхности. [c.14] Рассмотрим область, ограниченную поверхностью 5 (рис. 2). Требуется найти связь между значением Ф в точке наблюдения М и значением Ф на поверхности 5. Такая связь может быть получена путем использования формулы Грина, связывающей значения объемного и поверхностного интегралов. [c.14] В этой формуле п — внешняя нормаль. Соотношение (3.1) иногда называется формулой интегрирования по частям. [c.14] Звуковое поле Ф — это основное поле, которое требуется определить поле и является вспомогательной величиной. [c.14] Так как интегрирование проводится по поверхности 5, то величина г в этой формуле является расстоянием от точки наблюдения М до элемента 18 поверхности 5. [c.16] Последнее выражение называется формулой Кирхгофа (или интегралом Кирхгофа 1. Иногда эту формулу называют интегралом Гюйгенса, поскольку она служит математическим определением принципа Гюйгенса (см. ниже). Формула (3.7) является частным случаем более общей формулы Грина (см. 12). Поэтому ее называют также формулой Грина. [c.17] Заметим попутно, что при выводе формулы Кирхгофа мы использовали не столько конкретный вид вспомогательной функции и, сколько тот факт, что и имеет особенность типа 1/г. Поэтому результат, аналогичный (3.7), получился бы при использовании любой функции ы, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца и обладающей особенностью типа 1/г. При этом в подынтегральном выражении вместо функции е /г стояла бы выбранная функция и. Данное обстоятельство будет использовано нами в дальнейшем. [c.17] Сравнение выражений (3.8) и (3.9) показывает, что нормальная производная от поля сферического источника действительно является потенциалом двойного (дипольного) источника. Диаграмма направленности дипольного источника представляет собой os а. [c.18] Формула (3.7) дает математическую формулировку принципа Гюйгенса, согласно которому любое звуковое поле может быть представлено в виде суперпозиции волн, излучаемых сферическими и дипольными источниками, которые расположены на поверхности, охватывающей точку наблюдения. [c.18] Интересно рассмотреть, как меняется поле, если точка наблюдения М движется к поверхности, пересекает ее и оказывается во внешней области. При выводе формулы Кирхгофа мы учли, что вспомогательное решение уравнения Гельмгольца и имеет особенность внутри области. Эта особенность была исключена в результате того, что точка N[ была окружена поверхностью Sq, интеграл по которой оказался пропорциональным значению поля в точке М. Если же точка наблюдения находится вне области, то поле точечного источника, помещенного в точке наблюдения, во всей области Yоказывается регулярным. В этом случае введение дополнительной поверхности Sg, является излишним, и из выражения (3.4) сразу следует, что интеграл равен нулю. [c.18] Заметим, что во многих книгах по математической физике [811, [94] рассматривается не уравнение Гельмгольца, а уравнение Лапласа АФ = О, представляющее собой частный случай уравнения Гельмгольца при к = 0. Данное уравнение характеризует безвихревое движение несжимаемой жидкости и поэтому приближенно описывает звуковые процессы на низких частотах, когда длина волны велика по сравнению со всеми линейными размерами. [c.19] Выражение (3.11) называется условием излучения Зоммерфельда. [c.20] Иногда условие излучения записывают в другом виде звуковое поле на больших расстояниях от источника должно представлять собой уходящую сферическую волну, т. е. [c.20] Такая формулировка условия излучения подчеркивает, что даже при сколь угодно сложном источнике зависимость Ф от расстояния вдали от излучателя должна определяться вторым множителем (ЗЛ2). Первый множитель является диаграммой направленности источника. Таким образом, для любых источников диаграмма направленности, начиная с достаточно больших величин г, не должна зависеть от расстояния. [c.20] Вернуться к основной статье