ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Статистика собственных значений для колебаний в слоисто-неоднородных средах из "Динамические системы при случайных воздействиях " Коэффициент отражения г(Т) определяется отношением г(Т) = Ь(Т)/а(Т) и является комплексной величиной. [c.133] Очевидно, что при Г = О отраженных волн нет, так что г(0) = 0. [c.134] Решения уравнений (9.7) — (9.9) для динамических переменных г, U, г]) являются запаздывающими функционалами по переменной Т от а Т). [c.134] Начальное условие для Р и, Т) таково Р и, 0) = б(и — 1). Уравнение (9.13) известно в литературе. Оно выводилось из различных соображений и различными авторами (см., например, [23, 61, 62]). [c.136] В работе [61 ] проведено численное интегрирование выражения (9.14) дЛя коэффициента прохождения волны как функции параметра У.ЮТ12. Результаты этого вычисления представ- . лены на рис. 11. Из него видно, что ° 4 х о при неограниченном увеличении толщины слоя, Г - оо, коэффициент прохождения Кр О, т. е. волна полностью отражается от слоя, занимающего полупространство О С оо. [c.137] Для многих задач представляет интерес не столько знание вероятностных свойств поведения собственных функций краевой задачи (фактически они использовались в 2 для определения поведения г), сколько вероятностные свойства соответствующих им собственных значений. Например, в задачах распространения волн через слой флуктуирующей среды важно знать статистику окон прозрачности , при которых падающие на среду волны проходят сквозь нее, не испытывая заметного ослабления. [c.137] Поэтому все реализации ф( , х) проходят каждый из уровней ф = п/с только один раз. Соответственно, чтобы sin ф(г, х ) ровно и -Ь 1 раз обращался в нуль, необходимо (и достаточно), чтобы ф(г, х ) = пп. [c.139] при X = оба краевых условия в (9.16) выполняются. В то же время уравнение (9.20) для ф(г, х) является эволюционным с начальным условием ф(0, х) = 0. [c.139] Это соотношение является ключевым в описываемом способе изучения статистики собственных значений. Оно выражает вероятностное распределение ге-го собственного значения краевой задачи (9.15), (9.16) через вероятностное распределение ф( , х) при I = Т. Последнее можно определять из кинетического уравнения для динамической системы (9.20) с начальным условием (9.21). Перейдем к его выводу для некоторых моделей флуктуаций а( ), привлекая для анализа аппарат формул дифференцирования. [c.140] Согласно (9.21) это уравнение должно решаться при начальном условии Р(ф, 0) = б(ф). [c.140] Усредняя (9.25) в рамках диффузионного приближения, будем, как и в 2, под a(i) понимать предельный в смысле (9.11) случай Гауссовского марковского процесса. [c.140] Этот результат применительно к движению электрона в одномерной неограниченной (Г оо) неупорядоченной структуре с гауссовскими дельта-коррелированными флуктуациями потенциала примесных атомов означает, что плотность состояний пропорциональна корню квадратному из энергии электрона [59]. [c.142] Отметим, что для последнего случая ранее уже было получено точное кинетическое уравнение в работе [37], где оно выведено другим способом и записано в другом представлении (на его основе изучалось поведение плотности электронных состояний при Т — оо в зависимости от параметров а, р и — радиуса корреляций случайного потенциала решетки). [c.142] Вернуться к основной статье